Cтраница 2
Регуляризация заключается в таком преобразовании уравнений, после которого правые их части делаются регулярными, и тогда к регу-ляризированным уравнениям возможно применить общие теоремы существования голоморфных интегралов и получить решение в виде сходящихся рядов. [16]
Мы будем называть наивными те разделы вариационного исчисления и теории оптимального управления, которые обходятся лишь необходимыми условиями, не подкрепляя их сколько-нибудь общими теоремами существования. В принципе на этом пути неизбежно столкновение с парадоксом Перрона, и потому к полученным так результатам приходится относиться как к эвристическим, если только не дополнить их, как это было в примерах, рассмотренных во вступлении к этому тому, прямым доказательством того, что они приводят к искомым решениям. Этот принципиальный недостаток иногда затушевывается аналогией со случаем дискретных задач. В вариационном исчислении эта аналогия была главным источником серьезных ошибок, поскольку она не учитывает отсутствия компактности. [17]
Если функции pi ( x), p2 ( x) и q ( x) непрерывны в окрестности точки х 0, то, согласно общей теореме существования решения дифференциального уравнения существует единственное решение уравнения (1.24), удовлетворяющее заданным начальным условиям. [18]
Имеется ряд довольно общих теорем существования для соответствующих траекторий. [19]
Трудность этого подхода обусловлена необходимостью включить в полученное функциональное уравнение все свойства, связанные с исходным дифференциальным уравнением. Хотя можно получить общую теорему существования для функционального уравнения, но становится весьма сложно проверить, чтс рассматриваемое конкретное уравнение удовлетворяет всем требуемым предположениям. И, что более важно, при таком переходе некоторая часть динамики и геометрии исходной задачи теряется. [20]
Сингулярные интегральные операторы, рассматривавшиеся Михлиным [11] и Кальдероном и Зигмундом [7, 8], играют все более важную роль в теории дифференциальных уравнений с частными производными. С их помощью были доказаны общие теоремы существования и единственности; см., например, Кальдерой [5], где можно найти дальнейшие ссылки. [21]
Однако область применения их, по сравнению с общей теоремой существования, невелика; поэтому мы не будем приводить здесь доказательств сформулированных утверждений. [22]
Доказательство ее будет изложено в § 1 главы 5, посвященном специально общим теоремам существования и единственности решений. [23]
Им же были предложены и другие понятия оптимальности, уточняющие понятие ситуации равновесия, но для них общих теорем существования нет. [24]
Морри, используются оценки роста интеграла Дирихле. Идея применения таких априорных оценок в Clf0f для линейных уравнений к изучению задачи Дирихле для квазилинейного уравнения (12.40) появилась в работе f204 ], однако в этой работе имеется ошибка. Идея была реализована и упрощена в деталях Ниренбергом, который, используя теорему Шаудера о неподвижной точке, доказал, общую теорему существования. [25]
Вопросы существования оптимальных управлений и имеют очевидно, не только чисто математический интерес. Строгая формулировка теоремы существования решения задачи облегчает и конкретное ее разрешение, так как заранее очерчивается класс воздействий и, в котором содержится искомое управление. Во многих случаях вопрос о существовании решения UQ ( t) ( или и [ t, x ], если речь идет о синтезе системы) выясняется по ходу исследования. Однако были опубликованы и специальные работы, содержащие достаточно общие теоремы существования оптимальных движений и управлений. Наиболее полно изучен вопрос о существовании программного оптимального управления и ( i), минимизирующего величину /, складывающуюся из интеграла и из функции от мгновенных значений фазовых координат и управлений. [26]
Регулярное ( дважды дифференцируемое) решение является обобщенным. Обобщенное решение в случае непрерывной положительной функции ф является гладким, однако вторые производные могут не существовать. Построение обобщенного решения в своей существенной части сводится к чисто геометрич. В частности, если правая часть ф уравнения зависит только от х и у, этой функцией является площадь грани. Предельным переходом от таких многогранников получается график обобщенного решения уравнения. Для обобщенных решений получаются достаточно общие теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле. В частности, имеет место следующая теорема. [27]