Топологическая теорема
Cтраница 2
Все эти картинки хорошо изучены в лазерной оптике. В этой теории были некие общие топологические теоремы, которые впервые были угаданы именно лазерными физиками за счет того, что они в эксперименте не наблюдали некоторых явлений, а потом уже математики доказали, что так и должно быть. [16]
В этой главе исследование разрешимости классической задачи Дирихле для квазилинейных уравнений сводится к установлению некоторых априорных оценок решений. Такое сведение осуществляется с помощью топологических теорем о неподвижной точке в подходящих функциональных пространствах. Сначала мы сформулируем общий критерий разрешимости и проиллюстрируем его применение в ситуации, в которой нами уже были получены требующиеся априорные оценки. [17]
Топология - один из наиболее абстрактных разделов математики, поэтому на простом языке невозможно объяснить суть теоремы, доказанной студентом А.Н.Тихоновым в дипломной работе и утверждающей, что тихоновское произведение любого числа бикомпактных пространств бикомпактно. Но статистика неопровержимо свидетельствует, что среди топологических теорем именно эта занимает первое место по числу ссылок на нее в мировой общематематической литературе. [18]
Существование у таких матрицу собственных векторов с неотрицательными координата было установлено Перроном. Хопф показали, что теорема Перрона может быть доказана при помощи топологической теоремы Брауэра о неподвижной точке. [19]
Поскольку полость лишь одного из гиперболоидов ( 214) касается К, то отображение Ф обратимо. Ввиду компактности К пространство 2 ( / С) тоже компактно, кроме того dfli ( o) хаусдорфово, и, по известной топологической теореме, обратное отображение Ф - в этом случае тоже непрерывно. [20]
В этих условиях неподвижная точка есть, но инвариантных отрезков, вообще говоря, нет. Поэтому ясно, что обобщение на бесконечномерный случай, если такое обобщение можно указать, не может быть основано иа непосредственном применении принципов неподвижной точки типа принципа Шаудера или принципа Тихонова - нужны новые топологические теоремы. [21]
 |
Направление картины тензора Вейля на сфере S соответствует направлению максимальной фокусировки, обусловленной вейлевой кривизной. [22] |
Если бы речь шла об электромагнитных ГИН, то нам было бы задано векторное поле на S, а ориентация линейного элемента определялась бы направлением электрического вектора. Соответствующая топологическая теорема справедлива при всех ( целых и полуцелых) значениях спина. [23]
Анализируя начертания треугольника и трапеции и приведенные правила вычисления площадей в знаменитой рукописи Ахмс-са ( на папирусе Ринда), автор приходит к заключению, что эти чертежи следует понимать как изображения прямоугольных фигур, а не равнобедренных. Доказательство топологической теоремы четырех красок основывается на пяти вспомогательных теоремах геометрического содержания; последнюю из них еще нельзя считать строго доказанной. [24]
Аналитические сингулярности частотных ( или энергетических) функций распределения g ( w) обусловлены существованием так называемых критических точек в зависимости ш ( А), представляющих собой точки, в которых все производные du / dka обращаются в нуль. Особенности такой природы называют сингу-лярностями Ван Хова [169], поскольку он первым указал на то, что они являются свойством силовых постоянных и ( или) масс частиц, а их появление прямо следует из общей топологической теоремы Морзе [107] для периодических функций с многими переменными. [26]
Свойство двусвязности, или неразделимости, представляет особый интерес в связи с исследованием пленарных графов. Если связный граф изображен на двумерной сфере, то точки сферы, не принадлежащие нарисованному графу, распадаются на конечное число топологических дисков. В случае когда граф двусвязен, каждый из этих дисков ограничен некоторым циклом графа. Это предложение является топологической теоремой, а соответствующий ему комбинаторный результат приведен в гл. [27]
Она основана, хотя и может показаться, что это излишне, на теории гомологии, кратко изложенной в предыдущем пункте, и при этом использует не весь аппарат этой теории, а только идеи ориентации, границы и приписывание коэффициентов симплексам. Теорема была известна по существу еще около века назад, но изложение, данное здесь, не совсем классическое. Доказательство ее, по-видимому, принадлежит в основном Лефшецу, который первый изложил многие из топологических теорем о неподвижных и совпадающих точках. В работах [2] и [5] изложены некоторые более поздние приложения для специальных случаев, выходящих за пределы наших интересов; изложение, близкое к нашему, можно найти в [ 4, стр. [28]
Уже в конечномерном случае возникает феномен, не стопроцентно хорошо изученный, - появление так называемых казимиров. Казимир - это термин, позаимствованный из теории алгебр Ли, точнее, из ее изложения физиками. Вместо казимиров можно употреблять термин аннигиляторы. Такие функции называются казимирами. В случае, если скобка Пуассона вырождена кое-где, эти казимиры, как правило, появляются. Структура казимиров недостаточно хорошо изучена, как мне кажется. Легко доказывается аналог теоремы Дарбу. Он состоит в том, что если ранг матрицы Пуассона локально, около данной точки, постоянен, то локально можно найти соответствующее количество функций, равное как раз размерности вырождения. Их общая поверхность уровня называется симплек-тическим слоением, если ограничить скобку Пуассона на поверхность уровня, то скобка Пуассона будет невырожденной. Но это утверждение локальное. Мне не известно в литературе никакой топологической теоремы о том, какого типа функции здесь могут появиться. Например, кто сказал, что тут появляются только однозначные функции. На самом деле, симплектические геометры неправильно используют терминологию. Уже гамильтониан, когда вы рассматриваете гамильтоновы системы, не обязательно является однозначной функцией. Он вполне может быть замкнутой 1-формой. [29]
Страницы: 1 2