Cтраница 1
Осцилляционная теорема, а) Пусть А - г заключенное в промежутке ( jigp, jAjp s) собственное значение для системы ( 1), ( 2), ( 3); так как собственная функция у ( х, ( igp) для системы ( 9), ( 10), ( II) имеет в промежутке ( а, Ь) ровно 2р нулей, а предположения а, б, в позволяют применить теорему сравнения ( см. гл. Зяа), то собственная функция x ( t, А) системы ( 1), ( 2), ( 3) имеет в ( а, Ь) по крайней мере 2р - - 1 нулей. Отсюда следует, что число нулей собственных функций системы ( 1), ( 2), ( 3) стремится к бесконечности при возрастании А. [1]
IIIJ осцилляционная теорема справедлива для Я - J при выполнении ( Пф) и ( П1ф) осцилляционная теорема справедлива для К - - - оо. [2]
Тогда справедлива осцилляционная теорема. При выполнении только (6.6) и ( 6.8 осцилляционная теорема справедлива для А, - оо, при выполнении только (6.7) и (6.8) осцилляционная теорема справедлива для К - - оо. [3]
Для решения необходимо использовать осцилляционные теоремы Крейна [ Крейн, 1939; Крейн, Рутман, 1948; Крейн, 1939 ], применимые для обширного класса краевых задач вне зависимости от того, самосопряжены эти задачи или нет. [4]
Для одномерного движения справедлива так называемая осцилляционная теорема: волновая функция фп ( х) дискретного спектра, соответствующая ( п 1) - у по величине собственному значению Еп, обращается в нуль ( при конечных значениях х) п раз. [5]
По замечанию к теореме IV для (6.21) справедлива осцилляционная теорема. [6]
Если последовательность (6.5) простирается лишь в - оо, то будем говорить, что осцилляционная теорема справедлива для К - - оо. [7]
Для того чтобы определить главное квантовое число 0, фигурирующее в (7.21), воспользуемся осцилляционной теоремой Штурма, согласно которой функция rRna ( r), отвечающая по величине ( п0 1) - му собственному значению епо, обращается в нуль п0 раз. Из геометрических соображений следует, что любая функция с с0 ( г), стремящаяся при больших г к константе, обязательно имеет один или несколько экстремумов. Это значит, что функция dc0 ( r) / dr и, следовательно, равная ей функция rRna ( г) ( см. уравнение (7.21)) обращается в нуль один или несколько раз. [8]
Если в условиях теоремы IV выполнено ( IJ или ( Пф), то справедлива осцилляционная теорема соответственно для Я - оо или для А - - оо. [9]
IIIJ осцилляционная теорема справедлива для Я - J при выполнении ( Пф) и ( П1ф) осцилляционная теорема справедлива для К - - - оо. [10]
В этом пункте будет показано, что геометрические noci роения § 1 вместе-с результатами § 2 позволяют получить в случае краевых условий (6.54) - (6.56), теоремы, аналогичные осцилляционным теоремам. Подобный геометрический подход к краевым задачам может быть использован в значительно4 более общей ситуации. [11]
В этих случаях условие ( 6 26) вместе с граничным условием в точке х 1 однозначно ( с точностью до постоянного множителя) определяют собственные числа и собственные функции, причем спектр оказывается точечным и сохраняется осцилляционная теорема Штурма. [12]
Если длл этого уравнения справедливо одно из свойств ( L), ( II), то соответствующее свойство справедливо и для исходного уравнения. Если для этого уравпения справедлива осцилляционная теорема ( полная или для Л - о или для К - - оо), то соответствующая теорема справедлива и для исходного уравнения. [13]
Тогда справедлива осцилляционная теорема. При выполнении только (6.6) и ( 6.8 осцилляционная теорема справедлива для А, - оо, при выполнении только (6.7) и (6.8) осцилляционная теорема справедлива для К - - оо. [14]
В случае, когда а 3 0, мы получаем рассмотренный в § 5 случай. Для этой цели полезно будет указать некоторые дополнения к теореме сравнения и осцилляционной теореме. [15]