Cтраница 2
Когда рассматриваются только действительные решения x ( t), можно исследовать, как ведут себя компоненты xt ( t): сохраняют ли они знак или колеблются, приближаются ли они н нулю, если - да, то происходит это монотонно или нет. В этом смысле как классические, так и новейшие теоремы о колебаниях ( осцилляционные теоремы) выходят за рамки настоящей книги. [16]
Тогда справедлива осцилляционная теорема. При выполнении только (6.6) и ( 6.8 осцилляционная теорема справедлива для А, - оо, при выполнении только (6.7) и (6.8) осцилляционная теорема справедлива для К - - оо. [17]
Так как любое решение последнего уравнения может лишь в конечном числе точек обращаться в нуль, то из второго соотношения (6.20) следует, что p ( t) sQ почти всюду. Противоречие показывает, что особый случай невозможен. Поэтому для уравнения (6.1) с гамильтонианом (6.19) справедлива осцилляционная теорема для A-v что и требовалось доказать. [18]
Пусть дополнительно выполнено условие ( IIIJ. Тогда при возрастании К мультипликатор первого рода перемещается по единичной окружности в положительном направлении ( см. гл. Отсюда следует, что собственные значения Кп краевой задачи (6.1), (6.56) можно занумеровать так, что будут выполнены неравенства n n 7n i ( ПРИ Imp0) или 2л - 1 вЯ ( при 1шр0), где AJ, Я г - собственные значения (6.5) в осцилляционной теореме. [19]