Cтраница 2
Это тождество принадлежит Диксону [1890], а способ, которым Мак-Магон вывел его из своей Главной теоремы, типичен для многих других приложений, которые можно найти в его книге. [16]
Ни трудностей, ни неожиданных новых свойств в случае период дических цепей не появляется. Эти цепи были исключены из формулировки главной теоремы в § 7 лишь потому, что они представляют вторичный интерес, а описание их оказывается непропорционально многословным. Содержащееся в настоящем параграфе обсуждение этого случая проводится скорее ради полноты изложег ния, чем из-за представляемого им интереса. [17]
Рассмотрим теперь операцию ( декартова) произведения. Следующая теорема является основной в этом отношении и одной из главных теорем общей топологии. [18]
Первые работы А. М. Островского были посвящены новейшим вопросам алгебры главным образом абстрактной теории полей. Упомянем здесь его замечательные результаты в так называемой бевертунг-теории, где наряду с другими результатами ему удалось довольно быстро найти очень тонкое и весьма простое доказательство главной теоремы Кюршака, доложенной последним в Кембридже в 1912 г. Уже к началу 20-годов A.M. Островский был известен как один из ведущих алгебраистов. [19]
Однако с течением времени становилось все более ясным, что наиболее существенные из полученных результатов зависят лишь от того, что преобразования можно перемножать и что это действие обладает рядом характерных свойств. С другой стороны, были найдены объекты, вовсе не являющиеся преобразованиями, но над которыми можно производить некоторое действие ( назовем его по-прежнему умножением), обладающее теми же свойствами, что и в группах преобразований, и к которым главные теоремы теории групп преобразований оказались также применимыми. [20]
Одним из мощных приемов в математике является представление абстрактных математич. Если рассмотреть умножение функций того же класса на борелевские функции, то получают представление коммутативного нормального кольца операторов в гильбертовом пространстве. Более общий пример представления доставляет нам одна из главных теорем теории коммутативных банаховых алгебр. [21]
Теория катастроф уже начинает исчезать. То есть теория катастроф как связная система знаний с группой взаимно известных друг другу специалистов, работающих над ее проблемами, ускользает в прошлое, по мере того как ее методы более прочно входят в сознание научной общественности. Строго чистые математики из тех, кто нашел и доказал главные теоремы этого предмета, остались чистыми, перейдя в другие области, ближние или дальние, где еще нужно решать математические задачи. Имеется много областей для дальнейшей работы с ориентацией на приложения; сюда относятся эквивариантные катастрофы ( катастрофы с симметриями), связь между дифференцируемой и топологической эквивалентностями, использование бесконечномерных пространств состояний и многочисленные варианты элементарных катастроф, таких как катастрофы во времени Вассермана [112] и катастрофы с ограничениями, упомянутые в гл. Это лишь то, что наиболее тесно связано с элементарными катастрофами; но и вся область динамических систем и теории бифуркаций получает все возрастающее внимание. Потенциальные возможности для союза между мощными топологическими методами математиков и мощными численными методами ( такими как метод конечных элементов), используемыми исследователями-практиками, огромны. [22]
Начнем с рассмотрения ( в § 17) следующей задачи: при каких условиях вершины графа можно раскрасить так, чтобы каждое ребро было инцидентно вершинам разного цвета. Обсуждению этой задачи посвящен и весь следующий параграф, в котором доказаны две главные теоремы. В § 19 изучается связь между раскрашиванием графов и раскрашиванием карт, а затем в § 20 обе эти задачи сводятся к проблеме раскрашивания ребер графа. По существу весь этот материал носит качественный характер: нас больше интересует вопрос, какие графы можно раскрасить с соблюдением определенных условий, чем вопрос, сколькими способами можно выполнить это раскрашивание. [23]
Чтобы продвинуться дальше в изучении электрического поля, необходимо ознакомиться с математическим аппаратом, применяемым для описания свойств векторных полей. Этот аппарат называется векторным анализом. В данном параграфе мы рассмотрим основные понятия и некоторые формулы векторного анализа, а также докажем две главные теоремы векторного анализа: теорему Остроградского - Гаусса и теорему Стокса. [24]
В § 1 мы напоминаем Главную теорему Мак-Магона и показываем на нескольких примерах ее силу. Познакомившись лично с монографией Мак-Магона [1915], читатель, безусловно, лучше бы оценил этот совершенный и быстрый способ решения различных вопросов, трудноразрешимых при иных подходах. В последующих параграфах мы изучаем моноид перегруппировок на множестве, введенный Картье и Фоата [1969], и показываем, что сущность Главной теоремы состоит в некоторых комбинаторных свойствах этого моноида. Наконец, в последних параграфах мы указываем еще одну интерпретацию Главной теоремы в терминах степенных рядов, связанных с некоторыми факторизациями свободного моноида. [25]
В этой главе нашей задачей является построение дифферент циального исчисления с. Основная идея построений есть идея линеаризации - выделения из приращения функции главной линейной части, благодаря чему локальное изучение функции с точностью до малых первого порядка становится вполне элементарным. Функции, для которых такая процедура возможна, и называются дифференцируемыми. Без преувеличения ее можно называть главной теоремой в дифференциальном исчислении функций многих переменных - настолько важными являются ее приложения как в конечномерной, так и в общей ( бесконечномерной) формулировке: зависимость решении обыкновенного дифференциального уравнения от параметра ( § 1.6), локальная структура дифференцируемой функции ( § 1.7), теория условного экстремума ( § 1.8) и множество других, с которыми мы встретимся в последующих главах. [26]
В § 1 мы напоминаем Главную теорему Мак-Магона и показываем на нескольких примерах ее силу. Познакомившись лично с монографией Мак-Магона [1915], читатель, безусловно, лучше бы оценил этот совершенный и быстрый способ решения различных вопросов, трудноразрешимых при иных подходах. В последующих параграфах мы изучаем моноид перегруппировок на множестве, введенный Картье и Фоата [1969], и показываем, что сущность Главной теоремы состоит в некоторых комбинаторных свойствах этого моноида. Наконец, в последних параграфах мы указываем еще одну интерпретацию Главной теоремы в терминах степенных рядов, связанных с некоторыми факторизациями свободного моноида. [27]
Основное внимание в этой главе уделяется моноидам преобразований и синтаксическим моноидам распознаваемых языков. Здесь, в частности, показывается, что более глубокие результаты о языках, выразимых с использованием итерации, решающим образом зависят от исследования языков, порождаемых префиксными кодами. Такое исследование служит целью гл. В последних двух главах мы рассматриваем дальнейшие связи между полугруппами и комбинаторными вопросами, касающимися соответственно проблемы Бернсайда и Главной теоремы Мак-Магона. [28]