Cтраница 2
Теория матриц и определителей произвольного порядка строится аналогично изложенной теории матриц и определителей третьего порядка. Однако строгое ее построение требует введения дополнительных понятий и доказательства ряда сложных теорем. [16]
Аналогично пользуются преобразованием Фурье для уменьшения числа независимых переменных в дифференциальных уравнениях с частными производными. Зная же изображение, легко решить основную задачу, не используя ни таблиц, ни сложных теорем. Для операционного метода при применении преобразований Фурье, исходя из характера, граничных условий, можно использовать синус - или косинус-преобразование. [17]
Приняв программу логицизма, он проникся убеждением, что ни одно понятие, ни одна аксиома не должны приниматься на веру. Предполагалось, что логика и математика в принципе однородны, что как простейшие законы логики, так и сложные теоремы математики выводимы из небольшого набора элементарных идей, что математика - это по сути та же логика, только более зрелая, развитая. Эта мысль уже была высказана к тому времени Фреге. [18]
Хотя некоторые из собранных в этой главе парадоксов могут показаться забавными безделушками, каждый из них, как вы вскоре убедитесь, довольно быстро и незаметно приводит к таким важным разделам математики, как теория групп, математическая логика, теория бесконечных последовательностей, рядоз и пределов. Те, кто изучает геометрию, обычно уделяют так много внимания построениям с помощью циркуля и линейки и доказательству сложных теорем, что совершенно упускают из виду связи, существующие между геометрией и другими областями математики, не говоря уже о нескончаемых и прекрасных приложениях, которые геометрия находит в астрономии, физике и других науках. [19]
Некоторые более сложные теоремы, не используемые в тексте, приведены без доказательства. [20]
Материал § 2 и 3 относится скорее не столько к собственно теории вероятностей, сколько к математическому анализу и функциональному анализу. При желании читатель может рассматривать его и как справочный. Ряд наиболее сложных теорем будет приведен без доказательств, которые можно найти в специализированных руководствах. [21]
Попутно обнаруживается делимость многочленов на разность x - at где а - корень многочлена. Далее сообщались известное правило знаков Декарта, прием уничтожения второго члена в уравнении, способы преобразования корней уравнения, превращение всех действительных корней в положительные, опирающееся на примерную оценку границ корней, новое решение уравнения четвертой степени. Разумеется, наиболее сложные теоремы лишь иллюстрировались примерами и доказательства их, при тогдашнем уровне наук немыслимые, не приводились. [22]
Логическим следствием этих посылок - теоремой - является утверждение я сейчас в очках. Здесь цепочка рассуждений совсем короткая. При доказательстве более сложных теорем приходится иметь дело с соответственно более длинными цепочками рассуждений. Машине задаются аксиомы и задается предложение, которое должно быть доказано, и доказательство состоит в том, что путем логических рассуждений осуществляется последовательный переход от исходных условий к конечному результату. [23]
Теперь же я смотрю на дело так, что надо отбросить подобное словоупотребление, ибо оно, по моему мнению, может создать у читателя путаницу в представлениях, и только применение слова достоверность может рассеять эту путаницу. Пожалуй, надо согласиться с одним математиком, что эта достоверность не совсем того же рода, что достоверность определенных математических теорем ( например, теоремы о поверхности шара) - теорем, доказательства которых были проверены после того, как они были впервые даны, миллионами людей. Правда, можно и тут возразить математику, что он считает столь же достоверными значительно более поздние и сложные теоремы, доказательство которых проверено довольно малым числом лиц, и что в этом последнем случае заведомо имеется малая вероятность ошибки. Эту вероятность, безусловно, трудно оценить, но нам ничто не дает права считать ее меньшей, чем вероятность дактилографического чуда. [24]
Замечание 32.9. Теорема Дубовицкого - Милютина здесь получена, таким образом, как частный случай более общих результатов. В главе IV именно эти общие результаты будут служить основой для получения теорем математического программирования Однако большая часть этих теорем может быть получена только на основе теоремы Дубовицкого - Милютина, чем объясняется ее популярность. Поэтому, хотя эта теорема не будет у нас служить в дальнейшем инструментом исследования, мы все же приведем здесь непосредственное доказательство теоремы Дубовицкого - Милютина, не опирающееся на более сложную теорему 32.5 и другие результаты этого пункта. [25]
Рассуждения, которые мы продемонстрируем на этом примере, типичны и для более сложных задач. От более сложных задач мы отказываемся лишь по той причине, что нам пришлось бы доказывать довольно сложные теоремы о свертке, а эти теоремы в дальнейшем нам нигде не понадобятся. [26]
Теоремы 7.1, 7.3, 7.5 последовательно усиливают одна другую. Такое расположение целесообразно потому, что в таком виде легче знакомиться с этим материалом. С точки зрения результатов каждая из них, конечно, делает излишними предыдущие. Усиление результатов, однако, достигается усложнением доказательства. Имеет некоторое основание та точка зрения, что это усложнение не окупается значимостью усиления ( переход от теоремы 7.3 к значительно более сложной теореме 7.5 мало сказывается на поведении коэффициента а в области, где R близко к 1ху); мы излагаем все эти теоремы, чтобы читатель по желанию мог остановиться на любой из них. [27]