Cтраница 2
Построение теории оптимальных правил остановки ( как для марковских, так и других процессов) существенно основывается на результатах теории мартингалов и полумартингалов. [16]
Маркова и др.) в книге присутствуют нетрадиционные разделы, посвященные стохастическому анализу, разностным и дифференциальным стохастическим уравнениям, оптимальному оцениванию, теории рекуррентной фильтрации Калмана-Бьюси, методам нелинейной фильтрации, теории мартингалов. [17]
Начиная с 20 - 30 годов в теории вероятностей бурно развивается один из ее новых разделов - теория случайных процессов, занимающаяся изучением семейств случайных величин, эволюционирующих во времени. Была создана теория марковских процессов, теория стационарных процессов, теория мартингалов, теория предельных теорем для случайных процессов. [18]
Начиная с 20 - 30 годов в теории вероятностей бурно развивается один из ее новых разделов - теория случайных процессов, занимающаяся изучением семейств случайных величин, эволюционирующих во времени. Была создана теория марковских процессов, теория стационарных процессов, теория мартингалов, теория предельных теорем для случайных процессов. К недавнему времени относится возникновение теории информации. [19]
Первая глава носит вспомогательный характер. В ней напоминаются основные теоретико-вероятностные понятия, приводится ряд сведений из теории мартингалов и марковских процессов, изучаются свойства марковских моментов и моментов остановки. [20]
Большинство результатов, полученных в этой главе, по крайней мере внешне, сходны с соответствующими результатами, относящимися к случаю дискретного времени. Следует, однако, заметит ], что в этой главе приходится привлекать довольно сложный аппарат теории мартингалов и марковских процессов с непрерывным временем. [21]
Но E ( Yn) l, так как математические ожидания образующих мартингал величин совпадают. Хотя результат, к которому мы пришли, известен и весьма элементарен, использованный метод иллюстрирует возможные применения теории мартингалов. [22]
Имеется огромное число работ по теории графов и нет никакой возможности дать здесь их обзор. При анализе случайных структур использовались разнообразные вероятностные методы, в том числе метод моментов, пуассоновская и гауссовская аппроксимации, производящие функции и их анализ методом перевала, теоремы тауберова типа, теория мартингалов. В последние три десятилетия в вероятностной комбинаторике широкое распространение получил подход, основанный на применении так называемой обобщенной схемы размещения, который сводит ряд комбинаторных задач к задачам о суммах независимых случайных величин, классическому объекту изучения в теории вероятностей. Свое название эта схема получила в связи с тем, что она является обобщением задачи о случайном размещении п частиц в N ячеек. [23]
Как и в случае дискретного времени, естественно рассчитывать, что для широкого класса марковских процессов с непрерывным временем цена также допускает эксцессивную или регулярную характеризацию ( ср. Так оно на самом деле и есть, однако установление этих фактов, а также исследование вопросов существования и структуры оптимальных и е-оптималъных моментов требует привлечения довольно тонких результатов из общей теории процессов Маркова и теории мартингалов. [24]
Это свойство сохраняется при стягивании выбранных окрестностен к соответствующим точкам. Ясно, что для фиксированной окрестности произвольно заданной точки имеет место аналогичное свойство временной независимости. Рвзумеется, это одна из возможных математических моделей пространственно-временной корреляции, определяемая дельта-функциями. Другой подход предоставляют теория мартингалов и вииеровские процессы. [25]
В главе I даются определения основных понятий, используемых далее, а также устанавливается ряд вспомогательных результатов. В главе II изучается класс процессов с независимыми приращениями, важнейшим представителем которого является броуновское движение. Глава III полностью посвящена свойствам этого замечательного процесса. В IV, VI и VII главах излагается теория мартингалов, марковских процессов и стационарных процессов соответственно. Глава V содержит результаты, относящиеся к слабой сходимости вероятностных мер, в том числе мер в функциональных пространствах траекторий случайных процессов. В главе VIII рассматриваются вопросы стохастического интегрирования ( главным образом, по броуновскому движению) и стохастические дифференциальные уравнения. [26]
Теория мартингалов является одним из мощных инструментов современной математики. Элементы этой теории излагаются практически во всех университетских учебниках по теории вероятностей. Исчерпывающее изложение основ теории мартингалов дано в его монографии [2], вышедшей в свет в 1953 году. [27]
С тех пор эти доказательства стали своего рода стандартом и практически в неизменном виде приводятся во всех учебниках и монографиях по теории случайных процессов. Несмотря на это, в научных журналах время от времени появляются новые доказательства теорем о сходимости субмартингалов, в которых неравенство о числе пересечений не используется, но по-прежнему используются понятие марковского момента и максимальное неравенство. Небезынтересно отметить, что первое доказательство такого рода было дано самим Дж. Появление новых доказательств объясняется тем, что они более короткие или более простые по сравнению со стандартным доказательством. Кроме того, новые доказательства могут привнести новые точки зрения на некоторые проблемы в области теории мартингалов. [28]