Теория - случайная матрица
Cтраница 1
Теория случайных матриц, к рассмотрению которой мы переходим, была развита в 50 - 60 - е годы XX в. Вигнера, Дайсона, Мехты ( Mehta) и ряда других авторов. Первоначально задача этой теории состояла в том, чтобы установить какие-либо закономерности в спектрах сложных ядер. Интерес к теории случайных матриц возродился вновь после появления работы Бохигаса ( Bohigas), Джаннони ( Giannoni) и Шмита ( Schmit) [8], в которой было высказано предположение о том, что эта теория применима к любой хаотической системе. Впоследствии данное предположение подтверждалось неоднократно. Наиболее важные работы, опубликованные до 1965 г., а также сводка основных результатов, полученных к этому моменту, собраны в книге Портера ( Porter) [46], которая представляет интерес и для современного читателя. [1]
Третья глава посвящена теории случайных матриц. Основные положения этой теории, созданной еще в шестидесятые годы прошлого века, подробно излагаются в многочисленных обзорах и монографиях. Поэтому здесь рассматриваются лишь ее основные положения и результаты, в частности статистика межуровневых расстояний и спектральные корреляционные функции. В заключительном параграфе главы излагается интенсивно развивающаяся в последние годы техника суперсимметрии. [2]
Модель Пехукаса - Юкавы и теория случайных матриц. Несмотря на сделанные приближения, стационарное распределение в фазовом пространстве (5.1.52) является все еще слишком сложным. [3]
Как было показано в предыдущих главах, теория случайных матриц позволяет с хорошей точностью описать различные универсальные свойства спектров хаотических систем. Такая ситуация имеет место несмотря на то, что в этой теории сделан ряд сильных упрощающих предположений. С одной стороны, крайне удивительно, что одна теория позволяет охватить столь широкий круг различных физических систем - атомные ядра, мезоскопические структуры или микроволновые биллиарды. С другой стороны, это выглядит несколько странно. Если невозможно отличить спектры ядер от спектров квантовых точек, тогда что нового мы можем узнать о них. [4]
При малых L снова получим предсказываемый в теории случайных матриц линейный рост Аз ( Ь) для интегрируемых систем. [5]
Как нам известно из материалов третьей главы, теория случайных матриц позволяет находить различные спектральные корреляционные функции хаотических систем и, в частности, дисперсию числа уровней, а также спектральную жесткость. С другой стороны, в седьмой главе была получена формула следа Гутцвиллера, устанавливающая связь характеристик спектра квантовой системы с ее периодическими орбитами. [6]
Ес, при которой наблюдается поведение корреляций, характерное для теории случайных матриц, пропорциональна, как и ожидалось, Я; при е Ес наблюдается другая зависимость - закон Альтшулера-Шкловского. Заметим, что различные степенные законы были получены также для зависящих от масштаба классических диффузионных процессов ( см. гл. [7]
После краткого описания опытов с биллиардами различного типа в книге излагается теория случайных матриц и техника суперсимметрии. Рассматриваются системы с периодической зависимостью от времени, а также явление динамической локализации. В рамках теории рассеяния исследуются флуктуации и функции распределения элементов матриц рассеяния хаотических систем. В заключительных главах приведены основные положения квазиклассической квантовой механики, включая теорию периодических орбит. Дан вывод формулы Гутцвиллера и рассмотрены ее приложения. [8]
К настоящему времени выполнены эксперименты, в которых проверялись основные выводы теории случайных матриц. В третьей главе будет проведен детальный анализ таких исследований. [9]
Ниже мы будем следовать идеям, изложенным в работе Винтгена ( Wintgen) [79] и не станем касаться теории случайных матриц [51], поскольку такой подход подробно обсуждался в пп. [11]
Поскольку квантовый спектр, как было установлено, однозначно связан с периодическими орбитами, которые в свою очередь зависят от индивидуальных характеристик системы, успех теории случайных матриц, единым образом описывающей спектральные корреляции любой хаотической системы, требует специального объяснения. [12]
Поскольку кондактанс пропорционален полной прозрачности Т tnm 2, характер флуктуации зависит от числа каналов. Распределение прозрачности хаотического биллиарда с двумя контактами и различным числом каналов рассеяния представлено на рис. 6.14. Аналитические результаты для матрицы рассеяния были получены с помощью теории случайных матриц. [14]
 |
Реальная крутая жидкая пленка ( а и се термодинамические референтные модели, основанные на представлении о пленке как о мембране нулевой толщины ( 6 и слое жидкой фа ы а конечной толщины Hf ( в. [15] |
Страницы: 1 2