Теория - случайная матрица
Cтраница 2
Ощутимый прогресс в этой области достигнут пока топько в изучении моделей 2-мерной квантовой гравитации, тесно связанных со струн теорией, с задачами описания топологии пространств модулей расслоений над римановыми поверхностями и с теорией случайных матриц. [16]
Важное свойство собственных значений - их отталкивание, предотвращающее вырождение, и приводящее к подавлению флуктуации величины - / Veff - На самом деле, так как формула ( И. Лп), можно применить результаты работ ( Dyson, 1963; Mehta and Dyson, 1967; см. также Mehta, 1967), согласно которым флуктуации g - порядка единицы при условии, что собственные значения удовлетворяют статистике теории случайных матриц. Совсем недавно это противоречие было разрешено ( Beenakker and Rejaei, 1993 и, независимо, Chalker and Maedo, 1993): было обнаружено, что принцип глобального максимума энтропии ( Mello and Pichard, 1989) - это только приближение среднеполевого типа, точное же распределение нужно искать, решая некоторое уравнение типа Фоккера-Планка. Итак, это приближение прекрасно работает, но оно не точно. [17]
Вигнеровское распределение меж-уровневых расстояний было обнаружено в многочисленных, различных по своей природе системах - от атомных ядер до макроскопических микроволновых биллиардов. Это факт, несомненно, свидетельствует о том, что характер взаимодействия в той или иной физической системе не играет определяющей роли. В теории случайных матриц предполагается, что в подобной ситуации гамильтониан можно аппроксимировать некоторой матрицей, все элементы которой принимают случайные значения. Данное упрощение является, по-видимому, наиболее радикальным из всех возможных. [18]
Ясность в эту проблему можно внести, если учесть тот факт, что в случае очень длинных орбит их индивидуальные свойства нивелируются и статистическое описание становится вполне естественным. Длинные орбиты определяют корреляции уровней на малых расстояниях. Это та область, где теория случайных матриц работает хорошо. [20]
В заключительной восьмой главе рассматриваются приложения теории периодических орбит. Сначала обсуждается техника фурье-преобразований, позволяющая определить вклады от различных периодических орбит в известный спектр квантовой системы. Обсуждаемая далее квазиклассическая теория спектральной жесткости устанавливает связь теории случайных матриц с теорией периодических орбит. Дается представление о схеме ресуммирования рядов теории периодических орбит, позволяющей упростить схему расчета квантовых спектров. Заключительный параграф главы посвящен теории биллиардов на поверхности, характеризующейся постоянной отрицательной кривизной. [21]
Таким образом, коррелированное распределение энергии, полученное из распределения Юкавы, при изменении параметра / З / у описывает непрерывный переход от ансамбля Пуассона к гауссовым ансамблям. Этим может объясняться, в частности, и большой успех теории случайных матриц в описании спектров хаотических систем. [22]
Необходимо отметить также две монографии, посвященные рассматриваемой теме. Первая из них, Random Matrices, написана Мех-той [38], который считается пионером в данной области. Первое издание книги вышло в свет в 1967 г., а второе, расширенное - в 1991 г. В ней нашли отражение практически все разделы теории случайных матриц. Однако эта книга предназначена для специалистов. Для тех, кого интересуют лишь основные идеи теории, она может показаться слишком детализированной. В книге дано отличное изложение теории случайных матриц, рассматриваются системы Флоке, а также динамика электронных уровеней при изменении внешних параметров системы. [23]
Теория случайных матриц, к рассмотрению которой мы переходим, была развита в 50 - 60 - е годы XX в. Вигнера, Дайсона, Мехты ( Mehta) и ряда других авторов. Первоначально задача этой теории состояла в том, чтобы установить какие-либо закономерности в спектрах сложных ядер. Интерес к теории случайных матриц возродился вновь после появления работы Бохигаса ( Bohigas), Джаннони ( Giannoni) и Шмита ( Schmit) [8], в которой было высказано предположение о том, что эта теория применима к любой хаотической системе. Впоследствии данное предположение подтверждалось неоднократно. Наиболее важные работы, опубликованные до 1965 г., а также сводка основных результатов, полученных к этому моменту, собраны в книге Портера ( Porter) [46], которая представляет интерес и для современного читателя. [24]
Видно, что для статистики GOE имеет место полное согласие с теоретической кривой. Функция XI2 ( L) для спектра атома водорода, находящегося в сильном магнитном поле [28], приведена на рис. 3.156 Здесь снова наблюдается хорошее согласие с распределением GOE, однако все же имеет место небольшое систематическое отклонение. Как мы увидим далее, универсальное поведение, предсказываемое теорией случайных матриц, может быть нарушено, если рассматриваемый интервал энергии имеет порядок Н / Т или больше, где Т есть период движения частицы по кратчайшей для данной системы классической орбите. Расхождение между теорией и экспериментом, которое можно видеть на рис. 3.15 б, связано именно с этим обстоятельством. Ясно, что подобные индивидуальные характеристики системы, конечно, не могут быть смоделированы в рамках общей теории случайных матриц. [25]
Ясность в эту проблему можно внести, если учесть тот факт, что в случае очень длинных орбит их индивидуальные свойства нивелируются и статистическое описание становится вполне естественным. Длинные орбиты определяют корреляции уровней на малых расстояниях. Это та область, где теория случайных матриц работает хорошо. Можно предположить, что при разности квантовых чисел порядка Д / с 2тг / / т п, где / min - длина самой короткой орбиты, теория случайных матриц неприменима. Отклонения от предсказаний этой теории, обусловленные присутствием периодических орбит, мы уже обсуждали. [26]
Необходимо отметить также две монографии, посвященные рассматриваемой теме. Первая из них, Random Matrices, написана Мех-той [38], который считается пионером в данной области. Первое издание книги вышло в свет в 1967 г., а второе, расширенное - в 1991 г. В ней нашли отражение практически все разделы теории случайных матриц. Однако эта книга предназначена для специалистов. Для тех, кого интересуют лишь основные идеи теории, она может показаться слишком детализированной. В книге дано отличное изложение теории случайных матриц, рассматриваются системы Флоке, а также динамика электронных уровеней при изменении внешних параметров системы. [27]
Важное свойство собственных значений - их отталкивание, предотвращающее вырождение, и приводящее к подавлению флуктуации величины - / Veff - На самом деле, так как формула ( И. Лп), можно применить результаты работ ( Dyson, 1963; Mehta and Dyson, 1967; см. также Mehta, 1967), согласно которым флуктуации g - порядка единицы при условии, что собственные значения удовлетворяют статистике теории случайных матриц. Совсем недавно это противоречие было разрешено ( Beenakker and Rejaei, 1993 и, независимо, Chalker and Maedo, 1993): было обнаружено, что принцип глобального максимума энтропии ( Mello and Pichard, 1989) - это только приближение среднеполевого типа, точное же распределение нужно искать, решая некоторое уравнение типа Фоккера-Планка. Итак, это приближение прекрасно работает, но оно не точно. В большем числе измерений использование теории случайных матриц для вычисления ( Ag2) также дает ответ - правильный по порядку величины - но не точный. Однако даже при отсутствии полного количественного соответствия, можно уверенно утверждать, что качественная физическая причина универсальности ( Ag-2) заключается в отталкивании собственных значений матрицы прохождения. [28]
Вывод приведенных выше результатов дан, например, в Приложении А. Вероятно, по этой причине при анализе спектров спектральная жесткость используется чаще, чем более или менее эквивалентная ей дисперсия числа уровней. В нижней части рис. 3.15 представлены спектральные жесткости для ядерного ансамбля и для атома водорода, находящегося в сильном магнитном поле. Здесь были использованы те же экспериментальные данные, что и при расчете дисперсии числа уровней. Сравнение кривых непосредственно демонстрирует упомянутый эффект сглаживания. Хорошее согласие между экспериментом и предсказаниями теории случайных матриц наблюдается не только для двух рассмотренных систем. Можно было бы привести графики А3 - статистики и для всех других спектров, функции распределения межуровневых расстояний которых показаны на рис. 3.7. Во всех случаях, относящихся в статистике GOE, включая спектры неквантового происхождения, также наблюдается хорошее согласие с теорией случайных матриц. [29]
Вывод приведенных выше результатов дан, например, в Приложении А. Вероятно, по этой причине при анализе спектров спектральная жесткость используется чаще, чем более или менее эквивалентная ей дисперсия числа уровней. В нижней части рис. 3.15 представлены спектральные жесткости для ядерного ансамбля и для атома водорода, находящегося в сильном магнитном поле. Здесь были использованы те же экспериментальные данные, что и при расчете дисперсии числа уровней. Сравнение кривых непосредственно демонстрирует упомянутый эффект сглаживания. Хорошее согласие между экспериментом и предсказаниями теории случайных матриц наблюдается не только для двух рассмотренных систем. Можно было бы привести графики А3 - статистики и для всех других спектров, функции распределения межуровневых расстояний которых показаны на рис. 3.7. Во всех случаях, относящихся в статистике GOE, включая спектры неквантового происхождения, также наблюдается хорошее согласие с теорией случайных матриц. [30]
Страницы: 1 2