Cтраница 2
Автор с единых позиций рассматривает многочисленные методы оптимизации, удачно сочетая строгость математического анализа алгоритмов с умением ясно и просто изложить существо метода. Он приводит необходимые данные из функционального анализа и теории выпуклых множеств. [16]
Это утверждение является основой доказательства большинства важных фактов теории выпуклых множеств. [17]
В заключение отметим, что существуют доказательства теоремы двойственности, не опирающиеся на численные методы. Наиболее простым и наглядным является геометрическое доказательство этой теоремы1, но оно требует некоторых сведений из теории выпуклых множеств. Указанная теория играет важную роль также и в ряде других вопросов математического программирования. Однако основная часть книги на эту теорию формально не опирается. В связи с этим соответствующий более сложный материал вынесен в последнюю главу. В качестве одного из приложений изложенных в ней сведений из теории выпуклых множеств будет приведено геометрическое доказательство рассмотренной здесь теоремы двойственности ( см. гл. [18]
В главе содержится краткий обзор теории выпуклых множеств. В первых трех параграфах приведены только определения и формулировки без доказательств, поскольку здесь собраны, в основном, классические результаты теории выпуклых множеств. [19]
В этом параграфе мы намерены изучить зависимость объема линейной комбинации компактных выпуклых множеств в R от коэффициентов этой линейной комбинации. При этом мы в частности, изучим тот ход мысли, с помощью которого Минковский нашел путь для введения соответствующих мер в теорию выпуклых множеств. [20]
Начальные сведения из теории выпуклых множеств излагаются во многи:: книгах по оптимизации и выпуклому анализу. Здесь впервые в учебнук литературу включены не только начала теории выпуклых множеств, но и кла1 сическая теория смешанных объемов, доведенная до полного геометрической доказательства неравенства Александрова - Фенхеля. Это особенно ценн сейчас, когда раскрылись новые связи теории смешанных объемов с алгеброк комбинаторикой и теорией случайных процессов. Книга отличается детальностью изложения и доступностью. Ею могут пользоваться не только специа листы, но и студенты младших курсов. [21]
Предложенное фон Нейманом доказательство равенства ( 1) является весьма сложным и неконструктивным. Оно опирается на теорему Брауэра о неподвижной точке. Однако прошло еще десять лет, прежде чем Билль [1] обнаружил связь между этой игровой проблемой и теорией выпуклых множеств и дал элементарное доказательство равенства мини-максов. [22]
Подставим (7.6) в подынтегральную функцию (7.3) и получим задачу нелинейного программирования в среднем [58], которую можно свести к обычной задаче нелинейного программирования. Отметим, что любой вектор - показатель средних значений, который достижим в квазистационарном режиме, можно реализовать с помощью кусочно-постоянного управления, состоящего не больше чем из I 1 кусков, где Z - размерность вектора показателей процесса. F), где Ss обозначает, например, скорость реакции для стационарного режима. Так как для любого квазистационарного периодического управления вектор-показатель лежит в clco5s ( V), то из теоремы Каратеодори в теории выпуклых множеств следует утверждение о том, что управление является кусочно-постоянным. Другим предельным случаем циклического режима является скользящий режим [62, 63], имеющий две особенности: 1) продолжительность периода колебаний существенно меньше характерного времени переходных процессов в системе; 2) оптимальное управление всегда можно реализовать с помощью п I 1 переключений между постоянными значениями, где п - размерность вектора состояний и I - размерность вектора показателей. [23]
Теория локальных экстремумов применима для исследования оптимизационных задач как в конечномерных случаях, так и для задач поиска экстремума в функциональных пространствах. Разумеется, изложение ее в самом общем виде, требующее привлечения сложного аппарата современного функционального анализа, выходит далеко за рамки нашего курса. Однако исходные идеи этой теории весьма прозрачны и их строгое изложение для конечномерных задач, которым посвящена данная книга, достаточно компактно и легко для восприятия. Оно приводится ниже), и условия экстремума для задач с ограничениями будут получены как следствие основной теоремы Милютина - Дубовицкого. Доказательство последней опирается на элементарные сведения из теории выпуклых множеств. Краткое изложение этой теории дано в первом параграфе настоящей главы. [24]
В заключение отметим, что существуют доказательства теоремы двойственности, не опирающиеся на численные методы. Наиболее простым и наглядным является геометрическое доказательство этой теоремы1, но оно требует некоторых сведений из теории выпуклых множеств. Указанная теория играет важную роль также и в ряде других вопросов математического программирования. Однако основная часть книги на эту теорию формально не опирается. В связи с этим соответствующий более сложный материал вынесен в последнюю главу. В качестве одного из приложений изложенных в ней сведений из теории выпуклых множеств будет приведено геометрическое доказательство рассмотренной здесь теоремы двойственности ( см. гл. [25]