Cтраница 1
Теория интегральных операторов имеет многочисленные применения в самых различных областях математики и в первую очередь в теории интегральных и дифференциальных уравнений. Результаты этой теории применяются также в различных областях анализа и теории функций. Большой интерес теория интегральных операторов представляет для функционального анализа. Сапдер, теория интегральных операторов является источником всего современного функционального анализа и остается по настоящее время богатым источником нетривиальных примеров. [1]
Посвящена теории интегральных операторов, которая лежит в основе современного функционального анализа и является богатым источником нетривиальных примеров. [2]
В теории интегральных операторов хорошо известна задача о необходимых и достаточных условиях, при которых ядро K ( s, t) порождает интегральный оператор, действующий из одного функционального пространства в другое ( [ 106, с. Указанная задача мало изучена. В этом параграфе мы приводим решение этой задачи для операторов типа потенциала. [3]
Облекая карлеманов-скую теорию интегральных операторов в L2 в абстрактную форму, Стон) показал методом Карлемана, что неортогональные спектральные функции существуют у всякого негипермаксимального замкнутого эрмитова оператора. [4]
С точки зрения оснований теории интегральных операторов наиболее важным является следующий вопрос: какие операторы могут быть интегральными операторами. Данный вопрос относится к унитарной эквивалентности; его точная формулировка такова: для каких операторов Л sL ( X) существует унитарный оператор U и L2 ( X), такой, что UAU является интегральным. [5]
Несмотря на всю важность теории интегральных операторов, основные результаты этой теории, полученные в последние 15 лот ее наиболее интенсивного развития, еще пе нашли достаточно полного отражения в монографической литературе. Значительная часть книги посвящена проблеме представимости операторов в интегральной форме - проблеме, также еще не нашедшей своего полного отражения в монографиях. [6]
В этом разделе мы разъясним основные идеи теории интегральных операторов, порождающих решения линейных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами. [7]
Важную роль в анализе и его приложениях играет теория интегральных операторов и уравнений. Она, в частности, была отправной при построении теории абстрактных операторов и уравнений. Попытаемся изложить здесь некоторые сведения, дополняющие широкоизвестную теорию интегральных операторов. [8]
В заключение этого параграфа упомянем некоторые дальнейшие направления в теории интегральных операторов Фурье. ST / 2, 1 / 2, то ( как будет показано в § 8) S ( 0, /) р ( х, D) S ( /, 0) - псевдодифференциальный оператор, однако формула для его главного символа нарушается. [9]
Это позволяет при изучении представлений Т применять классические результаты теории интегральных операторов. [10]
Теперь мы можем исследовать оператор (2.1), опираясь на теорию обычных интегральных операторов Фурье, а также интегральных операторов Фурье с сингулярными фазовыми функциями, рассмотренных в § 6 гл. [11]
Наконец, на третьем этапе, в семидесятых годах, интенсивно развивается теория интегральных операторов Фурье, первоначальным вариантом которой является канонический оператор Маслова. Примером интегрального оператора Фурье является оператор решения задачи Коши для гиперболического уравнения. Хермандера новое важное понятие волнового фронта распределения, позволяющее точнее описать его особенности. Хермандера об инвариантности волнового фронта решений относительно гамильтонова потока главного символа. [12]
Многие теоретики, рассматривающие операторы с алгебраической точки зрения, подозрительно относятся к теории интегральных операторов, считая ее довольно специальной. Причина этой подозрительности лежит в истории предмета: кроме неограниченных операторов, часто возникающих в прикладной математике, интегральные операторы, которые наиболее часто встречались, были ( компактными) операторами Гильберта - Шмидта. Поэтому некоторые операторные теоретики предполагают, что большинство ( все. Это предположение одновременно и неверно, и правильно. Оно неверно в отношении произвольного ограниченного оператора А, у которого некоторые его скалярные трансляции ( т.е. операторы вида А X) представимы как интегральные операторы, ибо такие трансляции редко являются компактными. Оно, однако, верно, но в несколько неожиданном смысле. Существует другой вид компактности ( это ( 2, 1 -компактность, обсуждаемая в § 13), которой обладают все интегральные операторы ( только при условии, что определенные меры не бесконечны), и этот вид компактности обещает быть наиболее мощным средством в предмете исследования. [13]
Следствие ( ввиду теоремы 6.2): единственным атомическим пространством, которое необходимо рассматривать в теории интегральных операторов, является пространство со счетной мерой. [14]
Оно нетрудно, но его обсуждение здесь было бы отступлением от концепций и методов, присущих теории интегральных операторов. [15]