Cтраница 2
Операторы Гильберта - Шмидта служат источниками примеров ограниченных я дер, не являющихся поточечно ограниченными, но они важны и по многим другим гораздо более существенным причинам и постоянно участвуют в теории интегральных операторов. С другой стороны, что касается интегральных операторов, то наличие или отсутствие поточечной ограниченности обычно является малосущественной стороной вопроса. Вместе с тем этот вопрос может оказаться интересным, и пример 4.2 является далеко не последним словом по этому поводу. [16]
Ядром теории ПДО является алгебра символов, дающая возможность чисто алгебраическими средствами строить решения дифференциальных уравнений ( и начально-краевых задач для них) с точностью до гладких слагаемых. В теории интегральных операторов Фурье эта процедура распространяется на новые классы задач за счет использования уравнений типа геометрической оптики. [17]
Добавлена глава, посвященная основам теории полуупорядоченных пространств. Построение теории интегральных операторов и их представлений проводится на базе идеальных пространств измеримых функций. [18]
Если неизмеримое ядро индуцирует оператор из L2 ( У) в L2 ( X), то всегда ли существует измеримое ядро, индуцирующее тот же самый оператор. Данная задача, возможно, не является важной для теории интегральных операторов, однако, кажется, она еще не решена. В точных терминах данная задача может быть поставлена следующим образом. [19]
Данная монография дополняет книгу автора [ 37] и содержит новые результаты об интегральных операторах, а также приложения этих результатов к системам линейных интегральных уравнений. Значительная часть монографии посвящена карлема-новским интегральным операторам, зармавдим одно из центральных мест в теории интегральных операторов и возникающим ъ самых разнообразных ее задачах, построениях и приложениях. [20]
Сандера является заметным достижением в математической литературе. Главным ее достоинством является тщательный отбор из необозримого в рамках одной тоненькой книжки множества фактов тех, которые наиболее ярко характеризуют истоки и основные направления развития теории интегральных операторов. Она является превосходным введением в предмет и доступна широкому кругу математиков, в том числе и тем, кто лишь начинает пробовать свои силы. Изложение увлекательно, оригинально, замкнуто в себе и ведется таким образом, что начиная с вводных параграфов в основном тексте выделены задачи ( часть из них до сих пор не решена), которые стимулируют чтение и побуждают самостоятельные исследования. [21]
Теория интегральных операторов имеет многочисленные применения в самых различных областях математики и в первую очередь в теории интегральных и дифференциальных уравнений. Результаты этой теории применяются также в различных областях анализа и теории функций. Большой интерес теория интегральных операторов представляет для функционального анализа. Сапдер, теория интегральных операторов является источником всего современного функционального анализа и остается по настоящее время богатым источником нетривиальных примеров. [22]
Важную роль в анализе и его приложениях играет теория интегральных операторов и уравнений. Она, в частности, была отправной при построении теории абстрактных операторов и уравнений. Попытаемся изложить здесь некоторые сведения, дополняющие широкоизвестную теорию интегральных операторов. [23]
Почему изучаются интегральные операторы. Традиционным ответом является такой: интегральные уравнения имеют важные приложения за пределами математики ( и непосредственно сами и через дифференциальные уравнения), а также такой: с точки зрения чистой математики они являются непосредственным аналитическим обобщением понятий и методов классической алгебраической теории и линейных уравнений. Третий из возможных ответов состоит в том ( по упомянутым выше причинам), что теория интегральных операторов является источником всего современного функционального анализа и. Так как основным препятствием на пути прогресса во многих вопросах теории операторов является недостаток конкретных примеров, свойства которых можно было бы точно описать, то систематическое развитие теории интегральных операторов дает надежду найти новые пути преодоления трудностей, возникающих при изучении абстрактных операторов. [24]
Теория интегральных операторов имеет многочисленные применения в самых различных областях математики и в первую очередь в теории интегральных и дифференциальных уравнений. Результаты этой теории применяются также в различных областях анализа и теории функций. Большой интерес теория интегральных операторов представляет для функционального анализа. Сапдер, теория интегральных операторов является источником всего современного функционального анализа и остается по настоящее время богатым источником нетривиальных примеров. [25]
Почему изучаются интегральные операторы. Традиционным ответом является такой: интегральные уравнения имеют важные приложения за пределами математики ( и непосредственно сами и через дифференциальные уравнения), а также такой: с точки зрения чистой математики они являются непосредственным аналитическим обобщением понятий и методов классической алгебраической теории и линейных уравнений. Третий из возможных ответов состоит в том ( по упомянутым выше причинам), что теория интегральных операторов является источником всего современного функционального анализа и. Так как основным препятствием на пути прогресса во многих вопросах теории операторов является недостаток конкретных примеров, свойства которых можно было бы точно описать, то систематическое развитие теории интегральных операторов дает надежду найти новые пути преодоления трудностей, возникающих при изучении абстрактных операторов. [26]
Беспокойство же вызывает судьба представляемой читателю книги - ведь сейчас уже невозможен универсальный ( пусть даже вводный) учебник функционального анализа. Поэтому при подготовке настоящего издания, хотя оно и подверглось значительной переработке, мы сочли целесообразным сохранить общий замысел и, в основном, отбор и расположение материала, принятые в первом издании. Однако в ряде вопросов, в частности в теории топологических векторных пространств и в теории интегральных операторов изложение существенным образом изменено. [27]