Cтраница 2
Планк подчеркивает, что вначале он не только был безразличен, но иной раз даже сомневался в правильности статистического подхода Больцмана. Причина в том, что Планк рассматривал закон возрастания энтропии как общий и свободный от ограничений, подобно закону сохранения энергии, в то время как в теории Больцмана он выступал только как вероятностный закон: величина Н могла иной раз возрастать, а энтропия уменьшается. [16]
Уравнение (3.3.74) представляет собой обобщение кинетического уравнения, предложенного в 1922 году Энскогом, который исходил из интуитивных физических аргументов. Идея Энскога очень проста. Как и в теории Больцмана для разреженных газов, микроскопическая динамика твердых сфер определяется парными столкновениями. Вследствие конечности размеров твердых сфер столкновения между ними являются нелокальными, в связи с чем в интеграле столкновений пространственные аргументы одночастичных функций распределения должны быть разнесены на расстояние, равное диаметру твердых сфер а. [17]
Линейная наследственная теория, предложенная Больцманом, развита Вольтерром. Им предложены нелинейные интегральные соотношения, обобщающие уравнения Больцмана. Поэтому часто данная теория называется теорией Больцмана - Вольтерра. [18]
Единственная разница состоит в том, что заряд q будет удвоенным зарядом электрона. Не следует также считать, что если перейти к очень высоким частотам ( или коротким волнам), то форма уравнения останется правильной, ведь кинетическая энергия, которая отвечает очень резко меняющимся волновым функциям, может стать столь большой, что разрушит пары. При конечных температурах в соответствии с теорией Больцмана всегда встречается сколько-то разрушенных пар. He связанные попарно электроны называются нормальными и движутся по кристаллу обычным образом. [19]
Второе допущение состоит в том, что параметр плотности п nrjj много меньше единицы или, другими словами, что радиус взаимодействия много меньше среднего расстояния между частицами. Приближенная форма (3.1.25) двухчастичной функции распределения в теории Больцмана содержит оператор 5 оо ( 12), который описывает мгновенные столкновения двух частиц. Это приводит к тому, что интеграл столкновений Больцмана обеспечивает сохранение локальной кинетической энергии, в то время как в плотных системах должна сохраняться полная энергия. [20]
У формулы Шеннона также есть предшественница в теории Больцмана. Соответствующее выражение можно вывести из нижеследующих достаточно несложных ( хотя и несколько упрощенных) рассуждений. [21]
Больцман в конце прошлого века разработал основы нового направления в науке - кинетической теории материи, вывел знаменитые уравнения, описывающие движение газов на молекулярном уровне. Работы его при их появлении не были признаны, их опровергали. Он и его окружение не просто отвергали теорию Больцмана, но активно боролись с ученым, не выбирая, как говорится, слов и выражений. [22]
Его произведения долго печатались в никем не читаемых американских изданиях. Книга Гиббса Принципы статистической механики, изданная в 1902 г., в которой теория Больцмана была развита в наиболее общем и законченном виде, сперва не обратила на себя внимание физиков. [23]
Может быть, будет полезно сказать несколько слов, хотя это и не будет иметь непосредственной связи с дальнейшим ходом изложения, откуда возник интерес к основам теории. Он возник не только из желания понять то, что происходит. Существует чисто практическая причина, а именно, мы хотим знать, как можно было бы обобщить теорию Больцмана. Уравнение Больцмана основывается на допущении, что плотность рассматриваемого газа мала. Это допущение возникает из-за того, что мы рассматриваем только парные столкновения. Мы ввели его с самого начала даже в рассматриваемой модели, а именно, мы предположили, что только пара частиц подвергается столкновению и, наоборот, никогда не сталкиваются тройка и более частиц за один раз. С некоторыми выводами из теории Больцмана и теории Максвелла было довольно трудно согласиться. Одним из них является, например, утверждение о независимости вязкости от давления. [24]
Согласно распределению заряда, вычисленному из теоремы Больцмана, плотность заряда должна быть экспоненциальной функцией потенциала. Однако это находится в противоречии с той теоремой электростатики, которая утверждает, что потенциалы двух или более зарядов или системы зарядов складываются линейно. Если, например, заряд каждого иона ( или плотность заряда) увеличить в два раза по сравнению с первоначальным значением, потенциал в каждой точке, согласно законам электростатики, также должен увеличиваться вдвое. Однако из уравнения (5.1.6), выведенного на основе теории Больцмана, вытекает экспоненциальная зависимость. [25]
Временную эволюцию в уравнении Больцмана больше не определяет гамильтониан, зависящий от типа сил. В больцмановском подходе движение порождают функции, связанные с процессом, например, сечение рассеяния. Можно ли считать, что проблема необратимости решена и что теории Больцмана удалось свести энтропию к динамике. Ответ однозначен: нет, желанная цель не достигнута. Впрочем, вопрос этот столь важен, что заслуживает более подробного рассмотрения. [26]
Временную эволюцию в уравнении Больцмана больше не определяет гамильтониан, зависящий от типа сил. В больцмановском подходе движение порождают функции, связанные с процессом, например сечение рассеяния. Можно ли считать, что проблема необратимости решена и что теории Больцмана удалось свести энтропию к динамике. Ответ однозначен: нет, желанная цель не достигнута. Впрочем, вопрос этот столь важен, что заслуживает более подробного рассмотрения. [27]
Больцман в конце прошлого века разработал основы нового направления в науке - кинетической теории материи, вывел знаменитые уравнения, описывающие движение газов на молекулярном уровне. Работы его при их появлении не были признаны, их опровергали. Он и его окружение не просто отвергали теорию Больцмана, но активно боролись с ученым, не выбирая, как говорится, слов и выражений. Теперь теория Больцмана лежит в основе расчетов современных летательных аппаратов, причем - игра судьбы. [28]
Может быть, будет полезно сказать несколько слов, хотя это и не будет иметь непосредственной связи с дальнейшим ходом изложения, откуда возник интерес к основам теории. Он возник не только из желания понять то, что происходит. Существует чисто практическая причина, а именно, мы хотим знать, как можно было бы обобщить теорию Больцмана. Уравнение Больцмана основывается на допущении, что плотность рассматриваемого газа мала. Это допущение возникает из-за того, что мы рассматриваем только парные столкновения. Мы ввели его с самого начала даже в рассматриваемой модели, а именно, мы предположили, что только пара частиц подвергается столкновению и, наоборот, никогда не сталкиваются тройка и более частиц за один раз. С некоторыми выводами из теории Больцмана и теории Максвелла было довольно трудно согласиться. Одним из них является, например, утверждение о независимости вязкости от давления. [29]
Больцманом столкновительный член инвариантен относительно обращения скорости. Эта несколько неожиданная инвариантность имеет простой физический смысл: в болыщановской картине пет никакого различия между столкновением, обращенным в будущее, и столкновением, обращенным в прошлое. Именно на этой идее основано возражение Пуанкаре против вывода уравнения Больцмана, предложенного самим Больцма-иом. Но, как мы видели, симметрия кинетического-уравнения, выведенного Больцманом для функции распределения, противоречит симметрии классической динамики. Следовательно, заключает Пуанкаре, Больц-ман не сумел вывести энтропию из динамики. Где-то-в своих рассуждениях он ввел нечто новое, чуждое динамике. Следовательно, выведенное Больцманом уравнение в лучшем случае может рассматриваться лишь как феноменологическая модель, полезная, но не имеющая прямого отношения к динамике. Таково было также возражение Цермело ( 1896), выдвинутое против теории Больцмана. [30]