Cтраница 2
Работая над этой проблемой Георг Фробениус создал несколько новых плодотворных теорий, одна из которых была теория представлений конечных групп, а другая - теория линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, которой посвящена данная работа. [16]
Представления и характеры давно и с большим успехом используются при изучении строения групп. Теория представлений конечных групп над полем, возникшая в конце прошлого века, бурно развиваемся в настоящее время. Она естественным образом подразделяется на теории обыкновенных и модулярных представлений. [17]
Сформулированная теорема является лишь одним из многих важных результатов, доказанных в работе Фейта о целочисленных представлениях групп. Сама работа представляет собой одну из наиболее глубоких статей, когда-либо написанных по теории представлений конечных групп. В ней переплетаются алгебраическая теория чисел, модулярная теория характеров и действия групп на целочисленных решетках. В условиях теоремы 3.49 он показывает, что для имеется ровно три возможности, каждая из которых отвечает специфической подрешетке решетки Лича. [18]
Структура книги все еще удивительно напоминает ту, которая была придана ей Артином, Нетер и Ван дер Варденом примерно тридцать лет тому назад. Я целиком согласен с Ван дер Варденом в вопросе о включении в учебное пособие такого рода теории представлений конечных групп. Ввиду прогресса, достигнутого Брауэром за истекшие тридцать лет, оказалось возможным дать более полное изложение, чем это мог сделать Ван дер Варден в свое время. [19]
Настоящее учебной пособие ставит своей целью познакомить читателя с основами алгебры. Здесь излагается общая теория линейных уравнений ( включая теорию определителей и алгебру матриц), элементы общей алгебры ( а именно, простейшие свойстиа полугрупп, групп, колец, модулей и структур ( решеток)) и основы теории представлений конечных групп, включая необходимые факты из теории линейных пространств и нолупростых конечномерных алгебр. При этом основы теории линейных пространств налагаются как частный случай теории правых модулей над кольцом. Разумеется, читатели, изучившие линейные пространства но каким-либо другим источникам, могут пропустить § 1 главы III. В главах III и IV не используются результаты § 7 главы II. С другой стороны, в этих главах необходимы некоторые сведения из теории многочленов, по затрагиваемой в настошцем пособии. Имея в виду студентов младших курсов, пособие не включает в себя результаты, в доказательствах которых используется трапсфшгатная индукция или лемма Кура-товского - Цорна. Именно поэтому речь идет о конечномерных алгебрах, а не о кольцах с условием минимальности. Сознавая архаичность такого изложения, можно утешать себя мыслью, что оно дает лишний повод для использования теории линейных пространств. [20]
Наши n - гомоморфизмы описываются условием обрыва на ( п 1) - м шаге некоторой алгебраической рекурсии. Таким образом, пространство n - гомоморфизмов задается как алгебраическое подмногообразие в линейном пространстве линейных гомоморфизмов. Эта рекурсия аналогична той, при помощи которой Фробениус ввел п-характеры и построил теорию представлений конечных групп. О фундаментальной рекурсии Фробениуса и о том, как ее аналог возник в наших исследованиях по теории многозначных групп [9], [10], более детально будет рассказано ниже. [21]
Теперь я сделаю шаг в сторону, потому что в начале лекции я сказал, что эта наука хороша тем, что способствует взаимопроникновению глубоких идей из, казалось бы, совсем далеких областей. Известно, что в двух своих работах, опубликованных в 1896 г., Фробениус, говоря современным языком, построил теорию представлений конечных групп. Де-декинд сделал нечто для группы 5з ( что именно, я сейчас скажу), и этого было достаточно Фробениусу, чтобы для всех конечных групп построить теорию представлений. С этим тоже связан некий курьез. Недавно в Ратгерсе я беседовал с Кеном Джонсоном, одним из ведущих специалистов в этой науке, с результатами которого мы встретимся немного позже. Он сказал, что был поставлен вычислительный эксперимент: Можно ли сейчас, имея современные компьютеры, повторить эти результаты Фробениуса. [22]
Клейна, по совету которого начал заниматься линейными преобразованиями эллиптических функций. После возвращения в Дерптский университет Ф. Э. Молин был назначен доцентом и в последующие 6 лет выполнил исследования, давшие ему место в истории алгебры. В 1892 г. им публикуется статья О системах высших комплексных чисел. Говоря на современном языке, в этой статье по аналогии с понятием простой группы - Ф. Э. Молин определил простые алгебры над полем комплексных чисел, показал, что они суть алгебры матриц, и, наконец, обнаружил, что изучение произвольной алгебры над полем комплексных чисел приводится к случаю, когда фактор-алгебра по радикалу есть прямая сумма тел. В последовавших за этим мемуаром небольших заметках Ф. Э. Молин применяет указанные результаты к теории представлений конечных групп. Перекликавшиеся а исследованиями Фробениуса, Киллинга и Ли исследования Молина сразу получили международное признание, доставив ему золотую медаль Парижской Академии наук. Фробениус, в частности, говорит, что Молин одним ударом дал почти полное решение наиболее важных - вопросов в этой области. К сожалению, ни в Московском, ни в Петербургском университетах не нашлось в то время влиятельных лиц, которые смогли бы оценить эти работы Ф. Э. Молина, и, получив за них степень доктора, он должен был поехать ординарным профессором математики в только что тогда открытый Томский технологический институт. Здесь текущие заботы об организации преподавания, устройстве библиотеки и другие виды деятельности, жизненно необходимые для нового, отдаленного от столицы вуза, надолго отрывают его от потока живой международной математической жизни. В 1917 г. Ф. Э. Молин назначается профессором математики физико-математического факультета вновь открытого Томского университета, целиком погружается в организацию этого факультета и публикует время от времени заметки научно-методического характера. [23]