Cтраница 2
В глазах Алимова теория отношений VII книги представляет собой логически несовершенное объединение доевклидовой теории пропорций с некоей более поздней ее формой. [16]
Наметившаяся еще в античной Греции тенденция к аксиоматич. Тем не менее именно античная традиция несла в себе зачатки позднейших идей арифметизацип ( теория пропорций Еедок-са Книдского, также дошедшая до нас по Началам) и формальной аксиоматизации. Первая из этих идей реализовалась в 17 в. Декарт), а затем в виде многочисл. Вскоре пространственная терминология активно вторгается и во вне-матем. Гильберт) - этап этот завершается четкой формулировкой геометрич. [17]
Что касается самого установления пропорциональности, то узловым пунктом здесь является случай несоизмеримых отношений. Даламбер считает, что равенство несоизмеримых отношений должно устанавливать доказательством от противного; он решительно отклоняет совершенную, но очень сложную, мало доступную евклидову теорию пропорций. В этом есть, конечно, логический дефект, но вряд ли его можно избегнуть в преподавании начинающим. [18]
Извлечение квадратного корня, введение радикалов освобождает геометрию от совершенно недоступной десятой книги. В теории пропорций, на которой Лежандр строит учение об измерении по плану Даламбера, он всегда обрабатывает случай несоизмеримых отношений общим приемом приведения к абсурду; евклидова теория пропорций становится ненужной. Тем же методом доказательства от противного он заменяет и теорию пределов - прием, составляющий уже слабую сторону книги. Лежандр выдерживает строгость геометрического рассуждения и лишь изредка впадает в ту иллюзорную точность, от которой предостерегает Даламбер. [19]
Предметом этой статьи является кривая средних затрат фирмы в длительном периоде, интерпретированная как совместный результат пропорциональности применяемых факторов и их общего количества. Будет показано, что обычная практика, трактующая пропорции и размер как отдельные проблемы, явилась причиной тупика, в который зашла теория предмета, главным образом поэтому она почти целиком превратилась в теорию пропорций. [20]
Многочисленные задачи ее были широко использованы и в алгебре и в аналитической геометрии; из них и сейчас можно было бы почерпнуть интересный материал. В курсы алгебры вновь стали включать логарифмы, теория которых была существенно переработана Эйлером ( между прочим и в его Универсальной арифметике), теорему о биноме, теорию пропорций и прогрессии; важные методические изменения были внесены и в расположение материала. [21]
Еще интереснее попытка, предпринятая в это же время Гиппием Элидским. По-видимому, впервые в истории математики он вычертил квадрирующую кривую ( квадрат-рису), к-рая одновременно разрешала и задачу квадратуры круга, и задачу трисекции угла. Это открытие имело исключительное значение: была открыта первая трансцендентная кривая. Возможно, что уже пифагорейцами 5 в. Так, им приписывают доказательство теоремы, что сумма углов треугольника равна двум прямым; решение задачи: построить параллелограмм, подобный данному параллелограмму и равновеликий данному треугольнику; открытие додекаэдра. На математике того времени отразилось влияние Платона: из математики изгоняются числовые расчеты, увязка с практич. В центре внимания становятся игравшие большую роль в мистико-религиозных теориях Платона правильные многогранники, теория пропорций и учение об иррациональных величинах. Ученик Платона Теэтет изучил правильные многогранники, придав этому учению, вероятно, тот вид, какой оно имеет в Началах Евклида. Архит Тарентский углубил учение о пропорциях и решил задачу удвоения куба стереометрич. [22]
Третью особенность составлял характер примечаний и дополнений, которыми обычно сопровождались Начала. В них критика отходила на задний план; вместо традиционных схолий появляются примечания и дополнения, имеющие целью пояснить текст, сделать его более доступным для учащегося. Авторы иногда обрабатывают в этом смысле самый текст Евклида. Simson), выпущенный в 1756 г., выдержал около 30 изданий; английская же обработка Плейфера ( J. Play-fair), вышедшая в 1797 г., выдержала 10 изданий. Плейфер ввел буквенные обозначения для длин отрезков и этим значительно модернизировал некоторые разделы указанного сочинения, особенно теорию пропорций. [23]