Cтраница 1
Теория нормированных пространств с ее многочисленными приложениями и ответвлениями является наиболее обширным разделом функционального анализа, поэтому в этой книге мы сможем затронуть лишь некоторые аспекты этого раздела, сделав особенный упор на приложения к решению функциональных уравнений. [1]
Основные понятия теории нормированных пространств были введены Банахом [1], см. также монографию Банах. [2]
Основные факты теории нормированных пространств предполагаются известными. Полные нормированные пространства называют банаховыми. Ряд банаховых пространств систематически используется ниже; напомним соответствующие определения и обозначения. [3]
Эта теорема имеет многочисленные приложения в теории топологических векторных и нормированных пространств и их применениях. [4]
В 30 - х годах, когда в основном в работах Банаха была построена теория линейных нормированных пространств, сложилось впечатление, что этот класс пространств достаточно широк для того, чтобы обслуживать все конкретные нужды анализа. [5]
Установим соотношение между оператором проектирования, введенным в 3.4, и проектором в смысле теории нормированных пространств ( IV. Первые операторы мы временно назовем ор топроекторами, а вторые - проекторами. Очевидно, что ортопроектор является проектором; обратное неверно. Оказывается, это свойство характеризует гильбертово пространство в классе В-про-странств. [6]
Для формализации такого рода задач удобно использовать аппарат дифференциального исчисления в локально выпуклых пространствах ( ЛВП); рамки теории нормированных пространств в ряде случаев окази-вавтоя слишком стеснительными. [7]
Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С. [8]
Такое взаимно-однозначное соответствие между элементами линейных пространств, при котором сохраняются линейные операции ( сложение и умножение на число), называется изоморфизмом. Часто в теории линейных нормированных пространств не различают изометрически-изоморфные пространства. В этом смысле иногда просто говорят, что пространство, сопряженное к / р, есть пространство Lf, имея при этом в виду изометрический изоморфизм этих пространств. [9]
В книге рассмотрены теория нормированных пространств, теория операторов и теория функциональных уравнений. Наряду с линейными операторами и уравнениями значительное место занимают нелинейные операторы и уравнения. Помимо общей теории, большое внимание в книге уделено конкретным функциональным пространствам и операторам. В частности, рассматриваются введенные С. Л. Соболевым пространства дифференцируемых функций многих переменных. Эти вопросы связываются с общим изучением интегральных операторов. [10]
Эти теории взаимно обогащались идеями и фактами. Так, идея полунормы, заимствованная из теории нормированных пространств, стала необходимым инструментом для построения теории локально выпуклых линейных топо-логпч. [11]
В этой главе мы привлекаем средства функционального анализа, точнее, теорию линейных нормированных пространств, впрочем, в достаточно скромном объеме. Нам потребуются, однако, также и пространства с несимметричной нормой ( § § 5, 6) и, естественно, обобщение Банаха теоремы Хана па случай таких пространств. [12]
При конкретных рассмотрениях, важных для анализа векторных пространств функций и последовательностей, существенную роль играют понятия положительности, неравенства, положительного оператора. Между тем эти понятия и связанные с ними факты не находили никакого отражения в теории нормированных пространств Банаха, которую мы изучали до сих пор, что не позволяло охватить методами функционального анализа некоторые существенные вопросы классического и прикладного анализа. [13]
В основу этой главы положена статья М. Г. Крейна [11], в которой излагалась большая часть цикла лекций, прочитанных им в 1936 г. в Научно-исследовательском институте математики и механики при ХГУ. В этих лекциях последовательно проводилась идея, что различные вопросы теории аппроксимации естественно трактовать в рамках теории линейных нормированных пространств; при этом теорема Хана - Банаха и вытекающий из нее принцип двойственности позволяет объединить на первый взгляд разнородные проблемы и выработать единую тактику решения многих задач. [14]
Как известно, множество F в топологическом пространстве Ф называется компактным в Ф, если каждое бесконечное подмножество Ас Г имеет в Ф предельную точку. Известно также, какую важную роль играет в анализе теорема Больцано - Вейерштрасса о компактности ограниченных множеств. Теорема Больцано-Вейерштрасса справедлива для конечномерных пространств. С другой стороны, в теории нормированных пространств имеется теорема Рисса, утверждающая, что если в некотором нормированном пространстве все ограниченные множества компактны, то это пространство конечномерно. Поэтому нормированные пространства с компактными ограниченными множествами не представляют интереса с точки зрения функционального анализа. [15]