Cтраница 4
Тем не менее белый шум ( и его свойства) широко используется в теории случайных процессов и, в частности, в теории марковских процессов. [46]
Итак, мы видим, что энтропия процесса yh, немарковского, но являющегося частью марковского процесса, может быть определена методами теории марковских процессов после перехода к вторичному апостериорному уже марковскому процессу. [47]
Теория вероятностей стала полноправной ветвью математики именно благодаря Колмогорову, построившему общепринятую ныне ее аксиоматику, основу общей теории случайных процессов, теорию марковских процессов с непрерывным временем. Им открыты закон 0 или 1, закон двух третей, даны условия справедливости усиленного закона больших чисел, многих предельных теорем... [48]
Итак, удельная энтропия hy / Q а значит и энтропия hpx - hxl - hy / Q вычисляется методами, использующими результаты теории условных марковских процессов. [49]
Обнаружение несобственных решений произвело шок на ранней стадии развития теории в 1930 - х годах, но и стимулировало исследования, приведшие к цельной теории марковских процессов. Процессы, в которых переходы из х в Г возможны после бесконечного числа скачков, допускают аналогию с диффузионными процессами с граничными условиями и потому не так патологичны, какими казались вначале. Возможность появления бесконечного числа скачков объясняет также трудности, возникающие при непосредственном) выводе прямых уравнений. Прямые уравнения зависят от положения именно до момента t и поэтому зависят от пространства Q в целом. [50]
После усреднения за период получаются укороченные дифференциальные уравнения относительно A ( t) и г) ( f), на основании которых составляются соотношения теории марковских процессов. Благодаря введенным упрощениям уравнения типа Колмогорова можно проанализировать при помощи приближенных аналитических или численных методов. Подробное изложение этой методики приводится в ряде работ [18, 29], посвященных решению этого специального класса задач. В отличие от указанных работ в данной монографии развиваются подходы к исследованию нелинейных случайных колебаний без ограничений на интенсивности, масштабы - и скорости изменения флуктуации входных и выходных функций. [51]
Подчеркнем также, что во многих случаях сведение общих задач об оптимальной остановке к марковским оказывается оправданной еще и потому, что такая редукция дает возможность использовать мощный аналитический аппарат теории марковских процессов. Это подтверждается также тем, что большинство известных задач, в которых получены явные решения, таковы, что их удается переформулировать в марковских терминах. [52]