Cтраница 1
Теория конических сечений получила детальное развитии в Конических сечениях Аполлония. Это сечение называется эллипсом. Приведенное свойство лежит в основе дальнейших исследований, относящихся к эллипсу; н частности, оно распространяется на любые диаметры и сопряженные с ними хорды. [1]
Теория конических сечений Аполлония была положена в основу Введения Ферма и Геометрии Декарта. У Аполлония не было общих произвольно взятых координат, но были координатный угол и координатные линии, всегда ориентированные по двум сопряженным направлениям кривой второго порядка. [2]
К теории конических сечений относится также § 83 в гл. IV, где чисто аналитически решена задача о проведении кривой второго порядка через пять точек, и § § 169, 177, 178 гл. VII, в которых разбиение конических сечений на три вида получено с помощью нового и общего метода, причем для этой цели впервые в книге явно используется дискриминант уравнения второго порядка. [3]
Предварительные итоги работы в указанных направлениях, дополненные изучением теории конических сечений и некоторых других вопросов, Башмакова резюмировала в Лекциях по истории математики в древней Греции ( Историко-математические исследования, XI, 1958), и в дальнейшем она не прекращала исследований в этой области. [4]
Однако астрономия и физика являются не единственными областями, в которых теория конических сечений играет выдающуюся роль. Аналитическая геометрия кривых и поверхностей второго порядка может быть распространена с пространств двух и трех измерений на пространства любого числа измерений. И тогда, как было обнаружено, вся теория линейных операторов-либо в виде теории обыкновенных линейных алгебраических уравнений, либо обыкновенных дифференциальных уравнений, или уравнений в частных производных, либо интегральных уравнений - может быть сформулирована в виде геометрической проблемы, относящейся к поверхностям второго порядка. Конические сечения были, так сказать, подняты с плоскости и помещены на гораздо более возвышенное основание. Пространство, с которым мы теперь оперируем, не является более пространством двух или трех измерений, а пространством многих измерений и может быть даже пространством бесконечно большого числа измерений. Но поверхности второго порядка, расположенные в этих многомерных пространствах, все же обладают теми же основными свойствами, которые греки открыли в своих исследованиях о конических сечениях. [5]
Однако астрономия и физика являются не единственными областями, в которых теория конических сечений играет выдающуюся роль. Аналитическая геометрия кривых и поверхностей второго порядка может быть распространена с пространств двух и трех измерений на пространства любого числа измерений. И тогда, как было обнаружено, вся теория линейных операторов - либо в виде теории обыкновенных линейных алгебраических уравнений, либо обыкновенных дифференциальных уравнений, или уравнений в частных производных, либо интегральных уравнений - может быть сформулирована в виде геометрической проблемы, относящейся к поверхностям второго порядка. Конические сечения были, так сказать, подняты с плоскости и помещены на гораздо более возвышенное основание. Пространство, с которым мы теперь оперируем, не является более пространством двух или трех измерений, а пространством многих измерений и может быть даже пространством бесконечно большого числа измерений. Но поверхности второго порядка, расположенные в этих многомерных пространствах, все же обладают теми же основными свойствами, которые греки открыли в своих исследованиях о конических сечениях. [6]
Показав, что определенные таким образом линии совпадают с сечениями конуса, Валлис затем исследует некоторые свойства кривых, не прибегая более к теории конических сечений Аполлония. [7]
Так мы называем частный случай преобразования, известного в старину под названием преобразования полюсов и поляр - того самого, которое встречается в классической геометрии в теории конических сечений и кривых второго порядка - предмете чрезвычайно модном в то время, когда было введено понятие гамильтониана. [8]
Эйлер применял термин диаметр в более общем смысле - для обозначения прямых, делящих пополам все параллельные между собою хорды и встречающих эти хорды под одним и тем же, вообще отличным от прямого, углом - не только в теории конических сечений. К этой работе примыкает содержание ряда параграфов следующей главы. [9]
Аполлоний обогатил теорию конических сечений многими важными открытиями, остававшимися непревзойденными в течение 18 веков. [10]
Аполлоний обогатил теорию конических сечений многими важными открытиями, остававшимися непревзойденными в течение восемнадцати веков. [11]
Настоящее второе издание второй части книги существенно отличается от первого в двух отношениях. Эйлера, правильные многогранники и группы вращений); вопросы проективной и аналлагматической геометрии, а также синтетической теории конических сечений, входящие во вторую часть курса Адамара ( и имеющиеся в первом издании второй части), в этом втором издании опущены. В то же время во втором издании книги помещены полные решения всех имеющихся в тексте задач. [12]
Коническое сечение представляет тогда геометрическое место точек пересечения соответственных лучей этих проективно сопряженных между собой пучков. Надеюсь, что этих немногих указаний будет достаточно для того, чтобы сделать понятным для вас, какое огромное значение проективные преобразования имеют для теории конических сечений. [13]
Но до создания системы аналитической геометрии, до оформления ее как самостоятельной математической дисциплины еще было далеко. Ферма совершенно отчетливо выдвигает программу исследования кривых с помощью их уравнения в ( декартовых) координатах, но в своей основной работе, опубликованной лишь после смерти, он применяет новый метод только к теории конических сечений, не открывая новых геометрических фактов. [14]
В этом замечательном сочинении уже была дана теорема о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение, которая носит имя Паскаля. Последний предполагал разработать полную теорию конических сечений и, по свидетельству Шаля, получил из своей теоремы, которую он называл Hexagramma mysticum, до 400 следствий. Значение этой теоремы для теории конических сечений чрезвычайно велико, так как она устанавливает проективную связь шести точек конического сечения. [15]