Cтраница 2
Данная книга является первой частью нашего учебника Высшая математика. Здесь излагаются основные вопросы теории определителей, элементы теории матриц, теория систем линейных уравнений, векторная алгебра. Рассмотрены также основные разделы линейной алгебры: линейные операторы, ортогональные преобразования, самосопряженные операторы, квадратичная форма и приведение ее к каноническому виду. [16]
Приведенные ниже задачи 19.34 - 19.49 относятся к прямой, окружности, плоскости и сфере. Следует брать за определение алгебраическое уравнение соответствующего множества, а при решении задач применять теорию систем линейных уравнений, не пользуясь методами аналитической геометрии. [17]
Приведенные ниже задачи 19.34 - 19.49 относятся к прямой, окружности, плоскости и сфере. Следует брать за определение алгебраическое уравнение соответствующего множества, а при решении задач применять теорию систем линейных уравнений, не пользуясь методами аналитической геометрии. [18]
Так, понятия группы, кольца, поля, изоморфизма возникают в первой части и обсуждаются на уровне примеров, накапливаемых затем во второй части; более основательное изучение этих понятий проводится лишь в третьей части. Абстрактные векторные пространства и линейные операторы на них исследуются в третьей части, хотя их конкретные аналоги, сопровождающие теорию систем линейных уравнений, появляются на первых страницах настоящей книги. Разумеется, только читатель вправе судить, приближает ли такой подход то понимание предмета, о котором писал великий математик А. [19]
Рассчитана книга главным образом на лиц, начинающих изучение высшей алгебры и еще не владеющих абстрактными алгебраическими понятиями. В силу этого изложение материала проведено на конкретной основе и имеет целью подготовить читателя к естественному восприятию абстрактных понятий при изучении им линейной алгебры в дальнейшем. В частности, теория систем линейных уравнений изложена без привлечения понятия многомерного векторного пространства. [20]
Книга начинается с третьего раздела - Теория линейных пространств. Изложение основных тем линейной алгебры проводится в строгом соответствии с программой. При изучении линейных операторов широко используется их матричная запись, что приводит к сокращению доказательств и позволяет использовать теорию систем линейных уравнений. Несколько полнее обычного трактуется вопрос о нормальных формах матриц. Поскольку жорданова нормальная форма не всегда существует, наряду с ней рассматривается фробениусова нормальная форма, существующая при любом основном поле. Билинейная и квадратичная формы определяются как соответствующие многочлены. В главе Евклидовы и унитарные пространства подчеркнута тесная связь билинейных форм с билинейными функциями. В главе Линейные операторы евклидовых и унитарных пространств подробные доказательства всех утверждений даны только для случая евклидова пространства, а в случае унитарного пространства отмечены лишь особенности этих доказательств. [21]
Эти оба направления получают дальнейшее развитие в курсе высшей алгебры, определяя ее разбиение на два больших отдела. Один из них, а именно основы линейной алгебры, имеет исходной задачей изучение произвольных систем уравнений первой степени или, как говорят, линейных уравнений. Для решения таких систем в том случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, разрабатывается аппарат теории определителей. Этого аппарата уже недостаточно, однако, для изучения таких систем линейных уравнений, у которых число уравнений не равно числу неизвестных, - случай, непривычный с точки зрения элементарной алгебры, но очень важный для приложений. Эта теория оказалась очень глубокой и нашла приложения далеко за пределами теории систем линейных уравнений. [22]
Наиболее существенные изменения следующие. Упрощено изложение свойств линий второго порядка. Часть свойств выделена в отдельный параграф, который может быть сделан необязательным. По-новому определяются аффинные преобразования. В теории систем линейных уравнений более широко используются элементарные преобразования матриц. Добавлен параграф о линейных отображениях линейных пространств. По всей книге изменены многие доказательства, добавлены или выкинуты отдельные определения и предложения. [23]