Cтраница 2
Я буду предполагать, что читатель в основном знаком с идеями и математическим аппаратом теории солитонов ( см., например, другие главы данной книга), и уделю главное внимание не математической стороне вопроса, а физическим следствиям и приложениям. [16]
Начиная с работ Гарднера, Захарова и Фаддеева 1971 года [ l ] стало ясно, что фундаментальные нелинейные эволюционные системы теории солитонов, интегрируемые методом обратной задачи, являются теоретико-полевыми вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами. В теории периодических и квазипериодических решений ведущую роль играет семейство ( оказывающееся всюду плотным) конечномерных подмногообразий так называемых конечно-зонных решений ( см. [ з ]) в функциональном пространстве полей. На этих конечнозонных фазовых многообразиях динамика системы порождает конечномерные вполне интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы. Интересно, что поверхность уровня набора коммутирующих интегралов после надлежащей компактификации образуют абелев комплексный тор, являющийся многообразием Якоби некоторой гиперэллиптической римановой поверхности. Само решение в конечном счете записывается в виде выражения через 0-функции этого тора с линейной зависимостью от координаты X и времени Т под аргументом. Линейные координаты на торе Якоби представляют собой ( комп-лексифицированные) углы из теоремы Лиувилля. Выделение вещественного тора из комплексного требует отдельного обсуждения. Соответствующие углам канонически сопряженные переменные действия, во-первых, являются предметом только вещественной теории и, во-вторых, не описываются на языке 0 - функции; это важное обстоятельство порождает круг задач, рассматриваемый в данной работе. Лакса имеет порядок больше двух, или для матричных систем даже первого порядка, если матричная размерность больше двух. [17]
В центре работ сборника, посвященного 60-летию академика Сергея Петровича Новикова, выдающегося ученого, основателя ряда современных направлений математики и математической физики, - актуальные проблемы теории солитонов, теории динамических систем и теории гладких многообразий, связанные с задачами математической физики. Среди авторов - крупнейшие специалисты в этой быстро развивающейся области. [18]
В первой главе книги показано, каким образом в оптике в целом, и в ряде конкретных ее разделов в частности ( таких как волоконная оптика, лазеры и явления, основанные на принципе света, управляемого светом) возникают основные уравнения теории солитонов. Мы приходим к нелинейному уравнению Шредингера и его разновидностям и обобщениям. В последующих главах дается анализ этих уравнений и их решений методами, широко применяемыми на практике. В основном мы рассматриваем солитоноподобные импульсы и пучки в задачах, описываемых гамильтоновыми системами уравнений - это явления в средах с двулучепреломлением, эффекты дисперсии высших порядков и некоторые другие. Мы изучаем стационарные решения и их устойчивость, поскольку именно эти аспекты важны для приложений. Другим предметом исследования является глобальная динамика, которая выходит за рамки линейной теории устойчивости. Глобальная динамика становится важной тогда, когда первоначальный импульс ( или состояние) оказывается неустойчивым. Глобальную динамику мы рассматриваем на примере модуляционной неустойчивости и динамики солитонов в волокнах с двойным лучепреломлением. В последней главе книги рассмотрены негамильтоновы системы, а именно системы с накачкой и потерями. Здесь мы применяем подходы и методы, отличные от тех, что были использованы в предыдущих главах. Однако и в этом случае основные черты явлений могут быть описаны на основе анализа стационарных решений, их устойчивости и взаимодействия. [19]
Монография известных итальянских ученых содержит весьма подробное и вместе с тем доступное изложение метода точного интегрирования ряда классов нелинейных уравнений в частных производных ( основанного на изучении спектральных свойств некоторых линейных дифференциальных операторов), который дал начало развитию новой области математической физики, называемой теорией солитонов. Дается полный обзор современного состояния теории солитонов, излагаются новые результаты, полученные авторами. [20]
Кортевег и де Вриз [15] вывели уравнение, носящее их имена, в 1895 г. при исследовании длинных волн в прямоугольном канале с водой. Однако современное развитие теории солитонов и ее приложений начинается с работы, опубликованной в 1955 г. Ферми, Пастой и Уламом [7] в качестве отчета Лосаламос-ской научной лаборатории и посвященной исследованию нелинейных дискретно нагруженных струн. [21]
Монография известных итальянских ученых содержит весьма подробное и вместе с тем доступное изложение метода точного интегрирования ряда классов нелинейных уравнений в частных производных ( основанного на изучении спектральных свойств некоторых линейных дифференциальных операторов), который дал начало развитию новой области математической физики, называемой теорией солитонов. Дается полный обзор современного состояния теории солитонов, излагаются новые результаты, полученные авторами. [22]
В ней был приведен вывод формулы (1.4), который будет воспроизведен ниже в этой лекции. Через сто лет на конференции по теории солитонов, проводившейся в Шотландии в 1995 году, был повторен опыт возбуждения солитона в канале Форз-Клайд. На фотографии ниже изображены участники конференции, наблюдающие волну Скотта Расселла. [23]
Это было нужно, кроме всего прочего, для нужд теории солитонов, асимптотических задач, нелинейной квазиклассики в теории солитонов. Это было нужно, и мы эту задачу решили. [24]
Отрицательная дисперсия необходима и для существования оптических солито-нов. В данном разделе явление модуляционной неустойчивости рассматривается как введение в теорию солитонов. [25]
Это было нужно, кроме всего прочего, для нужд теории солитонов, асимптотических задач, нелинейной квазиклассики в теории солитонов. Это было нужно, и мы эту задачу решили. [26]
Рассматриваются кооперативные модели эволюции тонкой структуры приповерхностного слоя при растворении в электролитах с малым пересыщением моно - и поликристаллов 3d - металлов. Критически сопоставлены нелинейные решения уравнений кооперативных актов растворения, от моделей Хирса-Раса - Паунда, Лайтхила-Уит - хема до современных решений, основанных на теории солитонов. [27]
В заключении этого введения я хочу отметить, что понятие двузначной формальной группы возникло в нашей с С. П. Новиковым работе [6] и было мотивировано топологическими задачами, связанными в первую очередь с характеристическими классами в кобордизмах векторных симплектических расслоений. Далее мной была построена теория двузначных формальных групп, на ее основе решены известные топологические задачи ( см. обзор [7]), открыта связь этих групп с теорией солитонов и абелевыми функциями. [28]
Исходно целью настоящей работы являлось построение дискретных аналогов алгебро-геометрических координатных систем. Следует подчеркнуть, что в общем случае построение интегрируемых дискретных аналогов интегрируемой непрерывной системы является некорректно поставленной задачей и не имеет универсального решения. Вместе с тем развитые в рамках теории солитонов методы дискретизации систем, к которым применимы различные формы метода обратной задачи, достаточно универсальны. [29]
Однако с практической точки зрения гораздо важнее рассмотреть вопрос о движении часто встречающихся волн с большими амплитудами. Теоретическое исследование этих волн представляет большой интерес для приложений. В последнее время в литературе [234-238] значительное внимание уделяется теории солитонов, представляющих собой уединенные волны большой амплитуды на фоне сопутствующих волн малой длины и амплитуды. В пленочных течениях солитоны наблюдаются на достаточно больших расстояниях от входного участка. Чаще всего они бывают трехмерными и накладываются на основное течение жидкости, примыкающее к твердой стенке. [30]