Cтраница 2
К сожалению, не удалось пополнить очень ценную библиографию, приведенную в конце книги и включающую работы, опубликованные за период с 1924 по 1953 г. К русскому изданию добавлены предметный указатель и список основных обозначений. Так как книга дает обзор различных разделов теории эллиптических уравнений и отдельные ее главы могут читаться независимо друг от друга, то эти дополнения окажут читателю известную помощь. [16]
В конечном счете наиболее нпжным вопросом, который возникает в теории эллиптических уравнений, является изучение краевых задач для этих уравнений. [17]
Если 3) 91, то оператор 9Jt называется самосопряженным. Между двумя сопряженными операторами существуют некоторые интегральные соотношения, которые играют важнейшую роль в теории эллиптических уравнений. [18]
Описанный цикл работ показывает, что возникновение уединенной волны не является уже столь исключительным свойством волн на поверхности тяжелой однородной жидкости: решения типа уединенных волн допускают краевые задачи теории гравитационных волн в условиях потенциальности течения, такие же решения существуют и в теории вихревых волн, наконец, волновые движения неоднородной жидкости также содержат счетное множество однопараметрических семейств решений типа уединенной волны. Все это позволяет думать, что решения типа уединенной волны характерны для широкого класса краевых задач теории эллиптических уравнений, значительно более широкого, чем краевые задачи теории волн. [19]
В этом пункте мы напомним некоторые понятия, относящиеся к функциональным уравнениям в абстрактном пространстве, которые служат основой при изучении задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений. Полученные результаты, хотя они и оказались очень полезными в других областях, нашли мало применений в теории эллиптических уравнений, где требуются более тонкие теоремы. Эти исследования привели к созданию одного из методов, который может служить основой при изучении задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений. Все эти работы были опубликованы между 1927 и 1937 гг. Первой из них была работа [3] Шаудера, которая относится к 1927 г.; затем последовали работа Шаудера [7] и заметки [3, 4] Каччопполи в 1932 г.; статья Лере и Шаудера в 1934 г.; в 1937 г. - последняя работа [9] Каччопполи. [20]
Теория пары функций и и у, удовлетворяющих системе Коши - Римана, есть теория аналитических функций. Поэтому можно сказать, что образцом для теории эллиптических уравнений является теория аналитических функций. Каждому разделу теории а-налитических функций соответствует или должен соответствовать раздел теории эллиптических уравнений. [21]
Проблемы теории эллиптических уравнений привлекают в настоящее время внимание многих исследователей. Этому разделу теории дифференциальных уравнений с частными производными посвящена обширная литература. Поэтому встала важная задача систематически ииложить в одной книге основные понятия, результаты, идеи и методы теории эллиптических уравнений, сделать более доступным ряд фундаментальных исследований, дать возможность легко ориентиро-паться в большой литературе по эллиптическим уравнениям и тем свмым облегчить путь для дальнейших исследований. Миранды в значительной мере решает эту задачу. [22]
В нашем случае мы приближали искомую функцию кусочно дифференцируемыми отображениями со скачками производных вдоль горизонтальных сечений. Этот факт не является принципиальным и был продиктован простотой построения приближений. Этот факт, хорошо известный в теории эллиптических уравнений, будет далее рассмотрен более подробно. Таким образом, настоящая теорема существования вместе с теоремой единственности полностью решает вопрос об эквивалентности приведенных в предыдущей главе различных определений квазиконформных отображений. [23]