Cтраница 2
Задача разыскания таких систем координат тесно связана с групповыми свойствами дифференциальных уравнений. Применение методов теории групп Ли позволяет описать все решения с разделенными переменными многих классич. На этом пути получается также целый ряд соотношений из теории специальных функций. [16]
Хотя изучение классических ортогональных полиномов дискретной переменной началось еще в середине прошлого века [43], в литературе отсутствует систематическое изложение их теории. В настоящей книге сделана попытка восполнить этот пробел. Оказалось, что предложенный ранее простой подход к построению теории специальных функций [27, 28] можно обобщить таким образом, чтобы с единой точки зрения, в компактной форме рассмотреть все классические ортогональные полиномы дискретной переменной на равномерных и неравномерных сетках, а также самые важные из их приложений. [17]
Обучение ММФ обычно завершает общее математическое образование студентов-физиков третьего-четвертого года обучения. Считается, что эти студенты уже знакомы с линейной алгеброй, аналитической геометрией, математическим анализом, обыкновенными дифференциальными уравнениями, теорией функций комплексной переменной в объеме университетского курса. Стандартный курс ММФ, через который прошли многие поколения студентов, включает в себя, как правило, теорию уравнений в частных производных. Элементы функционального анализа, теории специальных функций и теории групп в программах ММФ часто носят фрагментарный характер и не являются обязательными. [18]
Наиболее употребительными специальными функциями являются так называемые специальные функции математической фиалки: классические ортогональные полиномы ( полиномы Яко - - би, Лагерра и Эрмита), сферические, цилиндрические и гипергеометрические функции. Теории этих функций и их приложениям посвящен целый ряд фундаментальных исследований. К сожалению, в этих исследованиях используется довольно громоздкий математический аппарат и множество специальных приемов. Поэтому давно существует потребность в построении теории специальных функций, основанном на одной общей и достаточно простой идее. [19]
На первый взгляд, вся эта совокупность результатов производит впечатление хаоса формул, в котором каждое утверждение доказывается путем своеобразных хитроумных аналитических преобразований, неизвестно откуда взятых подстановок и других приемов аналитической кухни. Представляется почти невозможным навести в этом хаосе какой-либо порядок, выяснить значение и глубину полученных формул, понять их взаимные связи, роль в остальной математике, причины их появления. Разумеется, присущее математикам стремление унифицировать изучаемые вопросы, охватить их с единой точки зрения, не обошло и эту область науки. Первоначально унификации были подвергнуты некоторые разделы теории специальных функций. Во второй половине XIX века П. Л. Чебы-шев создал общую теорию ортогональных многочленов, позволившую единым образом трактовать результаты, относящиеся к многочленам Лежандра, Якоби, Гегенбауэра, Лагерра и Эр-мита, а также ввести новые классы ортогональных многочленов, в частности, ортогональные многочлены дискретного переменного, связанные с точечным распределением масс. В этих работах были установлены связи теории ортогональных многочленов с непрерывными дробями, якобиевыми матрицами, механическими квадратурами и другими областями математики. [20]
Как алгебраический объект поле К выступает в двух планах: оно есть группа по сложению, в то же время множество элементов из К, отличных от О, образует группу по умножению. Важнейшими функциями в К являются аддитивные и мультипликативные характеры поля К. Позже мы увидим, что на базе этих функций строится теория представлений групп, и в частности теория специальных функций. [21]
В итоге чтения сотрудниками кафедры факультативных курсов в научно-исследовательскую работу и аспирантуру кафедры вовлекаются студенты - слушатели факультативных курсов. Автор статьи в течение нескольких лет читал факультативные курсы лекций, посвященные различным проблемам неустановившегося движения жидкости в пористой среде. При чтении этих факультативных курсов приходилось попутно излагать студентам часть необходимых сведений из математической физики, операционного исчисления, теории специальных функций, которые не входили в программы обычных втузовских курсов математики. [22]