Cтраница 2
Здесь и ниже под IJ будем понимать линейные однородные формы относительно всех указанных в них аргументов с функциональными коэффициентами класса С2; они считаются заданными в окрестности точки ( я, у), которую, очевидно, всегда можем преобразовать к началу координат. При описанных условиях систему (6.2) следует называть квазилинейной и неразрешенной. Как и в теории Якоби, см. § 4, будем называть формы Ll линейно независимыми, если в точке ( я, /) определитель из их коэффициентов отличен от нуля. [16]
Происходит понижение порядка ( или ранга) системы. Если дь RA, то, как было показано выше, можем перейти к комплексной аналитической системе (8.10), для которой процесс пополнения полностью описан в теории Якоби. [17]
Это действительно так, если считать, что основная задача механики состоит лишь в интегрировании уравнений движения. Но такая ограниченная точка зрения была бы несправедливостью по отношению к далеко идущим исследованиям Гамильтона. Пользоваться непосредственно главной функцией Гамильтона действительно нельзя, и приходится прибегать к методу Якоби, но тем не менее главная функция Гамильтона остается важной и интересной функцией и служит гораздо более глубоким целям, чем простое интегрирование канонических уравнений. Поэтому сравнение W-функции Гамильтона с S-функцией Якоби заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Постигнув все тонкости теории Гамильтона, мы придем к заключению, что в теории Гамильтона два уравнения в частных производных столь же необходимы и естественны, как одно уравнение в теории Якоби. [18]
Он также первый выдвинул идею о фундаментальной функции, из которой можно было бы получить при помощи простых дифференцирований и исключения переменных все механические траектории. Однако первоначальная схема Гамильтона была практически неприменима. Второе уравнение с точки зрения теории интегрирования является ненужным усложнением. С другой стороны, в теории Якоби требуется найти лишь один полный интеграл основного дифференциального уравнения. В случае систем с разделяющимися переменными такой интеграл может быть найден. [19]
Те задачи, которые могут быть решены с помощью уравнения в частных производных, обычно могут быть решены и другими методами. Поэтому в течение длительного времени считалось, что методы Гамильтона имеют чисто математический интерес и их практическое значение невелико. Философское же значение этих методов и то, что они позволяют по-новому осмыслить наиболее глубокие проблемы механики, оставалось незамеченным всеми, за исключением нескольких ученых, на которых произвела большое впечатление необыкновенная красота исследований Гамильтона. Среди них следует особо отметить Якоби; позднее это были Гельмгольц, Ли, Пуанкаре и уже в наши дни де Бройль и Шредингер. В современной физике методы Гамильтона завоевали признание благодаря оптико-механической аналогии, которая была выяснена с помощью уравнения в частных производных Гамильтона. При этом, однако, на первый план выдвигается обычно техническая сторона этой теории, а ее принципиальная философская сторона остается в тени. С нашей точки зрения, чисто техническая сторона этого вопроса менее важна. Основной интерес представляет осмысление основ этой теории и взаимосвязи между ее различными аспектами. Мы обсудим последовательно теории Якоби и Гамильтона и выявим ту централы ую роль, которую в них играет уравнение в частных производных Гамильтона - Якоби. [20]