Cтраница 3
На осшшапии этого факта сторонники корпускулярной теории надеялись найти объяснение оптическим явлениям, ибо согласно их воззрениям енотовой луч рассматривался как совокупность быстро дии-жущихся материальных частиц. Однако вышеуказанное предложение остается справедливым при любых гипотезах относительно природы света, и поэтому установление связи между оптикой и динамикой возможно также и при волновой теории света. Эта мысль лежит в основе теории Гамильтона. [31]
Необходимо сказать, что описанная выше теория не была дана Гамильтоном в достаточно общем и законченном виде: он вел свои исследования, переходя к меха - Ешке, преимущественно в предположении, что имеет дело с системой свободных материальных точек, взаимодействующих с силами, зависящими только от взаимных расстояний. Обобщение результатов и методов Гамильтона, устранение излишних ограничений, тщательная разработка математических методов является заслугой К. Поэтому часто можно встретить в литературе термин теория Гамильтона - Якоби, но исторически более справедливо говорить о теории Гамильтона - Якоби - Остроградского. [32]
Эта статья имеет самое близкое отношение к вопросам, рассмотренным в настоящей главе, так как она посвящена главным образом каноническим преобразованиям и скобкам Пуассона. Она, несомненно, может служить одним из лучших пособий по этим вопросам. Несмотря на свое название, она, в сущности, содержит теорию Гамильтона - Якоби ( см. гл. [33]
Необходимо сказать, что описанная выше теория не была дана Гамильтоном в достаточно общем и законченном виде: он вел свои исследования, переходя к меха - Ешке, преимущественно в предположении, что имеет дело с системой свободных материальных точек, взаимодействующих с силами, зависящими только от взаимных расстояний. Обобщение результатов и методов Гамильтона, устранение излишних ограничений, тщательная разработка математических методов является заслугой К. Поэтому часто можно встретить в литературе термин теория Гамильтона - Якоби, но исторически более справедливо говорить о теории Гамильтона - Якоби - Остроградского. [34]
У), может изменяться от точки к точке. Мопертюи утверждал, что законы природы могут быть получены путем минимизации некоторой величины, которую он назвал действием и которая при соответствующей формулировке совпадает с интегралом Якоби (5.6.12); он пытался показать, что закон преломления света получается из принципа наименьшего действия с таким же успехом, как и из принципа наименьшего времени. Он обратил внимание, таким образом, на ту же самую примечательную аналогию между оптическими и механическими явлениями, которая была известна еще Иоганну Бернулли, и которая впоследствии нашла свое полное развитие в замечательной оптико-механической теории Гамильтона. [35]
Тем не менее для того, чтобы обнаружить существенное различие между этими двумя функциями, не нужно даже прибегать к помощи второго уравнения в частных производных. В теории Якоби энергетическая постоянная Е была одной из новых переменных Qn. В теории Гамильтона все переменные находятся в равном положении и энергетическая постоянная играет роль заданной константы, а не переменной. Гамиль-тоново решение уравнения в частных производных является не полным, а сверхполнымъ, так как оно содержит на одну константу больше, чем полное решение. Однородность по всем, переменным является характерным свойством, отличающим гамильтонову W-функцию от S-функции Якоби. Эта однородность приводит к тому, что преобразование, определяемое функцией W, в корне отличается от S-преоб-разования. [36]
В скалярной части мы видим дивергенцию со знаком минус), известную еще со времен Эйлера; векторная часть - ротор - во время Гамильтона была еще новинкой, и физический смысл ее был неясен. Алгебраическая часть теории Гамильтона оказалась целиком включенной в быстро развивающуюся теорию матриц. Из аналитической части был выделен бескватерниоиный векторный анализ ( Дж. [37]
Это действительно так, если считать, что основная задача механики состоит лишь в интегрировании уравнений движения. Но такая ограниченная точка зрения была бы несправедливостью по отношению к далеко идущим исследованиям Гамильтона. Пользоваться непосредственно главной функцией Гамильтона действительно нельзя, и приходится прибегать к методу Якоби, но тем не менее главная функция Гамильтона остается важной и интересной функцией и служит гораздо более глубоким целям, чем простое интегрирование канонических уравнений. Поэтому сравнение W-функции Гамильтона с S-функцией Якоби заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Постигнув все тонкости теории Гамильтона, мы придем к заключению, что в теории Гамильтона два уравнения в частных производных столь же необходимы и естественны, как одно уравнение в теории Якоби. [38]
Вам, наверно, интересно узнать, какими физическими задачами занимался я сам. Тогда я не очень хорошо знал немецкий, но на мое счастье эта книга была переведена на английский. Она дала мне основы тех знаний, которые были необходимы, чтобы заниматься теорией атома. В книге Зоммерфельда было приложение, посвященное гамильтоновой динамике и ее применениям в квантовой теории. Я очень тщательно изучил по этому приложению теорию Гамильтона, прочитал другие книги на ту же тему: кроме того, проштудировал теорию преобразований, связанную с гамильтоновой динамикой, и познакомился с заложенными в ней общими идеями. [39]
Это действительно так, если считать, что основная задача механики состоит лишь в интегрировании уравнений движения. Но такая ограниченная точка зрения была бы несправедливостью по отношению к далеко идущим исследованиям Гамильтона. Пользоваться непосредственно главной функцией Гамильтона действительно нельзя, и приходится прибегать к методу Якоби, но тем не менее главная функция Гамильтона остается важной и интересной функцией и служит гораздо более глубоким целям, чем простое интегрирование канонических уравнений. Поэтому сравнение W-функции Гамильтона с S-функцией Якоби заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Постигнув все тонкости теории Гамильтона, мы придем к заключению, что в теории Гамильтона два уравнения в частных производных столь же необходимы и естественны, как одно уравнение в теории Якоби. [40]
Была сделана попытка рассмотреть электромагнетизм как аспект геометрии. Однако такой шаг в принципе ограничен рамками классических идей, не учитывающих субмикроскопические флуктуации геометрии и топологии пространства. Эта попытка хорошо известна, однако результатов в ней было получено мало. Поле Максвелла может быть затем определено по тем характерным следам, которые оставляются полем на геометрии пространства. В известном смысле эти следы и есть электромагнитное поле; отсюда и название уже единая теория поля для теорий гравитации и электромагнетизма. Однако хотя эта теория и воспроизводит динамическое содержание уравнений Максвелла и Эйнштейна во многих отношениях, все же выяснилось, что в ней не содержится проблема начальных значений. Иными словами, в уже единой теории поля не удается сохранить точное разделение уравнений движения и проблемы начальных значений для этих уравнений. И все же, исходя из имеющегося опыта в области теории Гамильтона - Якоби и квантовой теории, следует настаивать на таком разделении. Поэтому электромагнитное поле, равно как и элементарные частицы с массой, отличной от нуля, едва ли может быть чем-нибудь иным, кроме как инородным материальным объектом, внесенным в пространство. И это справедливо до тех пор, пока не принимается во внимание микроскопическая геометрия пространства. [41]