Cтраница 2
Утверждения 1) и 3) этой теоремы представляют собой, по-видимому, наиболее широко используемые факты теории банаховых алгебр. В частности, из 3) вытекает, что все комплексные гомоморфизмы банаховых алгебр непрерывны. [16]
Утверждения ( а) и ( с) следующей ниже теоремы представляют собой, по-видимому, наиболее широко используемые факты теории банаховых алгебр. В частности, из ( с) вытекает, что все комплексные гомоморфизмы банаховой алгебры непрерывны. [17]
Итак, мы убедились в том, что для теории банаховых алгебр ( как, впрочем, и для всей спектральной теории в целом) методы теории аналитических функций имеют первостепенное значение. Наоборот, теория банаховых алгебр является полезным инструментом для изучения тех или иных классов аналитических функций, в частности, - в плане теории аппроксимации. [18]
В решении многих вопросов группового анализа дифференциальных уравнений имеют большое значение коммутаторы. Они оказываются полезными также при решении ряда теоретических вопросов в самой теории банаховых алгебр. Здесь мы отметим лишь один результат, относящийся к этому кругу вопросов. [19]
Групповые переформулировки задач, которые мы будем обсуждать IB разделах 1 - 3 применительно к Rd и Td, очевидны, кроме, быть может, задач, связанных с комплексным анализом. Но и они не составляют исключения и также поддаются истолкованию в рамках абстрактной теории функций, сложившейся в 60 - х годах на стыке гармонического анализа, теории аналитических функций ( и теории банаховых алгебр. [20]
В главе 5 указано несколько способов применения теоремы Крейна - Мильмана о существовании крайних точек. Теория распределений и преобразования Фурье разработана достаточно подробно и применяется ( в двух очень коротких главах) к двум задачам об уравнениях с частными производными и к доказательству тауберовой теоремы Випера, а также используется при обсуждении двух приложений этой теоремы. Спектральная теорема выводится из теории банаховых алгебр ( а именно, из принадлежащего Гельфанду и Най-марку описания коммутативных В - алгебр); это, может быть, не кратчайший, но легкий путь. Функциональное исчисление в банаховых алгебрах изложено довольно подробно; так же обстоит дело с инволюциями и положительными функционалами. Включены некоторые сравнительно новые результаты о банаховых алгебрах, еще не нашедшие места в других руководствах. [21]
Гильбертом [1], к-рый также ввел важное понятие разложения единицы для самосопряженного оператора. В современный период известно несколько подходов к спектральной теории самосопряженных и нормальных операторов. Один из наиболее глубоких дает теория банаховых алгебр. Спектральное разложение для неограниченного самосопряженного оператора было найдено Дж. Карлемана [8], к-рый получил спектральное разложение для случая симметрического интегрального оператора, а также впервые обнаружил, что между симметрическими ограниченными и неограниченными операторами полной аналогии нет. [22]
Конечно, такие вещи, как теорема Хана - Банаха, преобразование Фурье, обобщенные функции или понятие спектра линейного оператора, стали обязательными для студентов-математиков. Однако идеи общей линейной топологии, основные понятия теории банаховых алгебр, достаточно развернутые формы спектральной теоремы пока не входят в обязательные программы. Прочтя ( или просто перелистав) книгу, можно получить приблизительное представление о состоянии некоторых классических ветвей функционального анализа. При этом ее выгодно отличает хорошее чувство меры: хотя автор является активно работающим специалистом по функциональному анализу, его учебник не перегружен результатами, представляющими интерес только для узкого круга знатоков. [23]
Это означает, что X - бимодуль в чисто алгебраическом смысле, но еще он - банахово пространство, и обе операции внешнего умножения непрерывны. X и рассмотреть оператор Dx: а н - а - х - х - а, то, как легко проверить, этот оператор будет дифференцированием. Такое дифференцирование называется внутренним. Типичная задача в теории банаховых алгебр состоит в следующем. Заданы банахова алгебра А и бимодуль X. Верно ли, что любое дифференцирование из А в X является внутренним. По-настоящему интересными считаются как раз не внутренние дифференцирования, называемые внешними. [24]
Вейля ( 1927), в которой была построена теория представлений компактных групп. В то время, правда, еще не была известна мера Хаара ( открытая в 1933 г.), и результаты Петера-Вейля формулировались для компактных групп Ли. Впоследствии теория меры Хаара позволила развивать гармонический анализ в естественных для него ( и очень широких) пределах локально компактных групп. Важным этапом этого развития послужила пон-трягинская теория двойственности ло / кально компактных коммутативных групп, создание которой по существу и совпадает с выходом на сцену нашего предмета - коммутативного гармонического анализа-в полном объеме. Окончательное осмысление его основных закономерностей произошло в рамках теории банаховых алгебр, созданной Гельфандом в конце 30-х-начале 40 - х годов. [25]