Cтраница 2
Теоремы, справедливые для полей GF ( рп), в частном случае п 1 становятся теоремами о кольце классов вычетов Z / ( p) и совпадают с теоремами, известными из элементарной теории чисел. [16]
Так, основная теорема элементарной теории чисел утверждает, что всякое натуральное число, отличное от единицы, либо простое, либо, если оно составное, может быть представлено в виде произведения простых чисел. [17]
Если п равно простому числу р, то кольцо целых чисел по модулю р является в действительности полем, обозначаемым символом Fp. Из элементарных свойств групп получаем следующий стандартный факт элементарной теории чисел. [18]
Позиционный принцип записи чисел в таких системах оправдывается следующей теоремой элементарной теории чисел. [19]
Гедель же показал тщетность таких поисков и доказал алгоритмическую неразрешимость проблемы доказательства непротиворечивости арифметической логики. Таким образом, в своей теореме о неполноте Гедель показал, что существует бесконечное число проблем элементарной теории чисел, решение которых невозможно никаким данным аксиоматическим методом. [20]
Эту интерпретацию обозначим через ОТ. Очевидно, что с математической точки зрения главный интерес представляет изучение элементарной теории этой интерпретации Т ( ОТ), поскольку именно она составляет содержание элементарной теории чисел. Можно сказать, что неявно изучением этой теории и занималась математика, начиная с античных времен. [21]
Но здесь речь идет о нек-рых ( конкретно определенных) функциях. Кстати, эта элементарная теория чисел вовсе не является элементарной в смысле простоты. [22]
Эта система представляет собой формализацию некоторой части классической элементарной теории чисел и включает необходимую для этого логику. [23]
Элементарная теория чисел с такой точки зрения состоит из всех теорем, которые можно вывести из аксиом Пеано, самым сильным средством в которой является аксиома индукции. В такой формулировке она приобретает математический вкус и долго развивается как часть математической логики - теория рекурсивных функций. С доказательством замечательной теоремы Матиясевича в ней выделился законченныый теоретико-числовой фрагмент - теория диофантовых множеств, - который достоин завершать любой курс элементарной теории чисел. [24]
В теории чисел, как ни в какой другой области математики, велика роль изобретательства, математического остроумия, которое может проявить молодой человек с минимумом знаний или профессионал с иной подготовкой. Теоретико-числовое воспитание - это воспитание вкуса; никто не может сказать заранее, что проблема о дружественных числах - плохая задача, а гипотеза Ферма - хорошая, но за нее нельзя браться голыми руками. В элементарной теории чисел накоплен набор поставленных и решенных классиками задач, впоследствии выросших в теоремы, и приемов работы, впоследствии ставших большими теориями. Знакомство с таким набором, вероятно, полезно любому профессионалу. [25]
Свое вступление в науку он описывает далее так: Во всей полноте невинности и невежества я записался на объявленный Гильбертом в тот семестр курс лекций о понятии числа и квадратуре круга. Большая часть курса оказалась недоступна моему разумению. Но двери нового мира распахнулись передо мной, и хотя я сидел у ног Гильберта не так уж долго, в моем юном сердце созрела решимость во что бы то ни стало прочитать и изучить все, написанное этим человеком. По окончании первого курса я отправился домой, держа под мышкой его Zahlbericht ( обзор, а по объему целая книга, Гильберта по теории алгебраических чисел), и за летние каникулы тщательно проштудировал эту работу, не будучи ранее знаком ни с элементарной теорией чисел, ни с теорией Галуа. [26]
Вместе с тем система Пеано аксиом категорична. В этой аксиоме за Р может быть принято любое мыслимое свойство натуральных чисел. Различие между этими аксиомами незаметно, пока речь идет о теоремах элементарной теории чисел, и весьма существенно, когда выясняются свойства формальной теории. [27]
Я привожу эти слова не только как свидетельство дружбы редкой глубины и плодотворности, основанной на общности научных интересов, но и потому, что мне слышатся в них отзвуки нежной дудочки гаммельнс-кого крысолова, каковым, несомненно был Гильберт, соблазнивший столь многих крыс последовать за ним в глубокие воды математики. Если требуются примеры, я могу рассказать собственную историю, Я приехал в Геттинген восемнадцатилетним провинциалом, выбрав Геттингенский университет главным образом потому, что директор моей гимназии случайно оказался двоюродным братом Гильберта и снабдил меня рекомендательным письмом к нему. Во всей полноте невинности и невежества я записался на объявленный Гильбертом в тот семестр курс лекций о понятии числа и квадратуре круга. Большая часть курса оказалась недоступна моему разумению. Но двери нового мира распахнулись передо мной, и хотя я сидел у ног Гильберта не так уж долго, в моем юном сердце созрела решимость во что бы то ни стало прочитать и изучить все, написанное этим человеком. По окончании первого курса я отправился домой, держа под мышкой его Zahlbericht 2, и за летние каникулы тщательно проштудировал эту работу, не будучи ранее знаком ни с элементарной теорией чисел, ни с теорией Галуа, Это были счастливейшие месяцы моей жизни, и их сияние сквозь годы, обремененные грузом забот и сомнений, которых не миновал никто из нас, и поныне согревает мне душу. [28]