Cтраница 3
Далее, Л - операция, возникшая при исследовании борелевских множеств, привела к созданию дескриптивной теории множеств. Из ряда задач комбинаторной математики и теории графов возникла комбинаторная теория множеств. [31]
В центре внимания данного обзора - мономиальные алгебры, т.е. алгебры, все определяющие соотношения которых задаются словами от образующих. Исследование таких алгебр имеет своей целью выявление идей, необходимых для построения комбинаторной теории колец. [32]
О двух комбинаторно экивалентных многогранниках говорят также, что они являются многогранниками одного типа. Проблема выявления всех комбинаторных типов d - многогранников с фиксированным числом вершин или граней является важнейшей в комбинаторной теории многогранников. Для а 2 проблема тривиальна: два многоугольника комбинаторно эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое число вершин. Однако уже в случае d 3 проблема перечисления комбинаторных типов многогранников, несмотря на ее большое практическое значение в кристаллографии, полностью не решена. [33]
Мы рассматриваем в первую очередь задачи перечисления помеченных объектов; эти задачи всегда решаются значительно легче, чем соответствующие задачи для непомеченных объектов. Например, число помеченных графов немедленно находится с помощью элементарных соображений, тогда как определение числа непомеченных графов требует использования мощных средств из комбинаторной теории, включая теорему Пойа. [34]
В силу результата Радо [161] каждая поверхность может быть триангулирована, и, таким образом, реализована в виде 2-мерного клеточного комплекса. Вид 2-комплекса, который может быть построен на поверхности, описывается свойствами, данными ниже в определении 3.1.1, и вначале мы будем работать исключительно в рамках комбинаторной теории с такими комплексами поверхностей. Однако позже мы будем также обсуждать такие понятия, как кривые и изотопии на поверхностях, а для этого будет удобнее считать, что комплекс поверхности действительно реализован в виде топологической поверхности. [35]
Определение функции Мебиуса, типичные примеры комбинаторных ситуаций, в которых она естественно возникает и работает, приведены в статье Бендера и Гольдмана ( стр. Эта статья рекомендуется для первого ознакомления с предметом. Насколько нам известно, сейчас вышло девять выпусков цикла Об основах комбинаторной теории. [36]
Важным методологическим аспектом теории мономиальных алгебр является их связь с техникой канонической формы. Поэтому эти алгебры находят свое приложение в комбинаторике слов, в символьных вычислениях, в кодировании, комбинаторной теории колец и др. Практика показывает, что даже в тех случаях, когда исследование не касается собственно мономиальных алгебр, вычисления тем не менее производятся с записью элементов через произведения образующих, т.е. с мономами. [37]
В пособии, написанном на основе лекций, читаемых автором на механико-математическом факультете МГУ, достаточно полно и доступно для начинающих изложена канторовская теория множеств. Приведены основные факты арифметики кардинальных чисел, важнейшие теоремы о вполне упорядоченных множествах и ординалах, дано введение в комбинаторную теорию множеств, имеющую глубокие применения. Изложение сопровождается большим количеством задач. [38]
Обзор посвящен комбинаторным методам в теории колец. Главной темой является комбинаторика слов и ее приложения, а также понятие канонической формы элементов в различных исчислениях. В центре внимания - мономиальные алгебры, т.е. алгебры, все определяющие соотношения которых задаются словами от образующих. Исследование таких алгебр имеет своей целью выявление идей, необходимых для построения комбинаторной теории колец. [39]
Типичные для комбинаторной геометрии задачи связаны с оценкой числа фигур, входящих в удовлетворяющую условиям задачи конфигурацию. Большинство задач комбинаторной геометрии ставится для выпуклых тел, в связи с чем при решении многих из них используются свойства многогранников. Последнее стимулировало исследование комбинаторных и метрических свойств многогранников и зависимостей между ними. Это привело в начале 50 - х годов к возникновению и выдвижению на первое место нового раздела теории выпуклых многогранников - комбинаторной теории многогранников. [40]
Заканчивается книга главой по теории матроидов. Эта глава была задумана для того, чтобы связать воедино материал предыдущих глав, а еще для того, чтобы не нарушить принципа: Мудрым будь - обобщить не забудь. На самом деле теория матроидов есть просто-напросто учение о множествах с определенными на них структурами независимости; она обобщает не только свойства линейной независимости в векторных пространствах, но и некоторые результаты теории графов, полученные в этой книге. Однако, как мы увидим, теория матроидов отнюдь не является обобщением ради обобщения; напротив, она позволяет нам глубже проникнуть в суть некоторых задач теории графов, а в приложениях своих дает простые доказательства результатов из теории трансверсалей, которые плохо поддаются более традиционным методам. Мы убеждены, что в скором времени теория матроидов сыграет важную роль в развитии комбинаторной теории; по этой причине мы и включили ее в нашу книгу. [41]
Совокупность белых, красных и зеленых шаров может содержать несколько белых шаров. Вообще в данной совокупности могут встречаться несколько индивидов, или элементов, одного и того же рода ( рода белых шаров) или, иначе говоря, элементы с одним и тем же свойством ( быть белым шаром) могут встречаться в нескольких экземплярах. На возникающий при этом вопрос об отождествлении Лейбниц дал априорный ответ своим принципом идентификации неразличимости 1): Физики недавно получили точное эмпирическое решение этого вопроса для элементарных частиц, особенно фотонов и электронов. С этим вопросом тесно связана проблема тождества во времени; тождественное Я моего внутреннего опыта является философски наиболее важным примером. Наше решение относительно того, что следует считать равным или различным, влияет на подсчет различных случаев, на котором основано определение вероятности, и, таким образом, проблема тождества затрагивает основания теории вероятностей. Только благодаря комбинаторной теории совокупностей подобные вещи находят свою точную математическую интерпретацию, и едва ли существует иная отрасль знания, где соотношение идей и математики выступает в более прозрачной форме. [42]
Объявив одну из точек дополнения С бесконечной, мы сведем теорию узлов в S3 к соответствующей теории в R3, и каждый волен выбирать ту форму, которая наиболее удобна для рассматриваемой задачи. Обычно узел в R3 описывают ортогональной проекцией на плоскость. Рассуждениями, связанными с общим положением, можно доказать, что существует проекция узла, имеющая лишь конечное число кратных точек, каждая из которых имеет порядок 2 ( то есть является двойной точкой), причем ни одна из вершин многоугольников не отображается в двойные точки. В каждой двойной точке отмечают, какая из дуг - верхняя. Гомотопические деформации могут быть заменены последовательностью элементарных перестроек, а именно, заменой одной из сторон ( геометрического) треугольника двумя другими и наоборот. Это позволяет строить комбинаторную теорию узлов, которая лежала в основании всей теории узлов и до сих пор не утратила своей актуальности. [43]