Cтраница 1
Комбинаторная теория групп уходит своими корнями в топологию и особенно в теорию фундаментальных групп. Введенная Пуанкаре при рассмотрении примера трехмерного многообразия, имеющего тривиальные гомологии, но не гомеоморфного 3-сфере, фундаментальная группа - мощный и иногда трудно исследуемый инвариант топологического пространства. [1]
В комбинаторной теории групп группа задается с помощью указания ее множества образующих и системы определяющих соотношений. [2]
Под комбинаторной теорией групп в самом широком смысле мы понимаем теорию, относящуюся к представлениям групп, то есть группам, заданным множествами образующих элементов и соответствующих определяющих соотношений. Эта теория возникла примерно в 1880 г. как часть комплексного анализа в работах Клейна, Пуанкаре и других математиков при изучении фуксовых групп. Особое значение с точки зрения комбинаторной теории групп имела работа Дика, кто первым выделил понятие свободной группы; день появления этой работы можно считать днем рождения комбинаторной теории групп как самостоятель-йой дисциплины. Своего совершеннолетия эта теория достигла примерно через тридцать лет ( около 1910 г.) после работы Дэна по проблемам разрешения для фундаментальных групп замкнутых поверхностей. [3]
Теперь мы рассмотрим важный инструмент комбинаторной теории групп: когомологическую размерность. [4]
Предлагаемый вниманию читателя обзор посвящен трем современным вопросам комбинаторной теории групп, имеющим отношение к геометрии. [5]
Наконец отметим, в связи с возможным обобщением теории малых сокращений в комбинаторной теории групп ( см. Линдон, Шупп [ 1, гл. V ]), что ее гипотезы для указанного класса групп ( геометрически конечных дискретных групп GcM6b ( n), n l, без параболических элементов), как заметил для ко-компактных групп Кэннон [1], выполняются глобально. [6]
Большинство топологических проблем, связанных с поверхностями, может быть исследовано методами комбинаторной теории групп благодаря некоторым основополагающим результатам на эту тему. В теории римановых поверхностей естественно появляются разрывные группы; они также имеют богатую комбинаторную структуру, которая будет здесь описана. [7]
Это понятие было введено в 1892 г. Пуанкаре и дало основание для использования комбинаторной теории групп в топологии. Существующие в топологии проблемы алгоритмического характера, такие, как проблема гомеоморфизма, проблема гомотопической тривиальности путей ( стягиваемости), проблема эквивалентности узлов, находят адекватное свое отражение в аналогичных проблемах для фундаментальных групп. [8]
Это понятие было введено в 1892 г. Пуанкаре н дало основание для использования комбинаторной теории групп в топологии. Существующие в топологии проблемы алгоритмического характера, такие, как проблема гомеоморфизма, проблема гомотопической тривиальности путей ( стягиваемости), проблема эквивалентности узлов, находят адекватное свое отражение в аналогичных проблемах для фундаментальных групп. [9]
Фундаментальные группы играют важную роль в нескольких областях математики и тесно связаны с комбинаторной теорией групп. Для вычисления фундаментальных групп разработаны два следующих метода: один использует так называемую теорему Зайфер / а-ван Кампена, которая связывает фундаментальные группы пространств XXi [) X2, Х, Х2 и Х ( ] Хь где Xi, Х2 - открытые подпространства пространства X, а X r Xz - линейно связно ( см. гл. При другом подходе ограничиваются рассмотрением полиэдров или CW-комплексов, поскольку этими пространствами исчерпывается практически весь запас топологических пространств, для которых использование фундаментальных групп имеет какой-либо смысл. [10]
Наша третья глава посвящена изучению круга вопросов, с которых в свое время началась комбинаторная теория групп: фуксовых групп и фундаментальных групп поверхностей с точки зрения их действия на плоскости. Здесь глубокая взаимосвязь геометрических и алгебраических методов особенно поражает. В главе 4 мы сосредотачиваем наше внимание на рассмотрении примеров применения топологических и геометрических приемов к проблемам комбинаторной теории групп. Основная использующаяся здесь техника - метод диаграмм сокращений - интересный пример того, как геометрические идеи могут упростить и прояснить алгебраические рассуждения, а также привести к их дальнейшему развитию. В главе 5 мы имеем дело с трехмерными многообразиями и концентрируем наши усилия на изучении тех аспектов этой теории, где важные результаты могут быть получены в первую очередь при помощи использования фундаментальных групп. В отличие от случая поверхностей, где фундаментальная группа относительно легко вычисляется и содержит в себе практически всю топологическую информацию о поверхности, с фундаментальными группами трехмерных многообразий трудно работать, и полного топологического описания многообразия знание фундаментальной группы, как правило, не дает. [11]
Важность этой группы в топологии несомненна, а после решения Дэном для этой группы проблем слов и сопряженности существенно повзрослела и комбинаторная теория групп. Именно Дэн предположил, что для произвольных групп с одним определяющим соотношением должны выполняться утверждения, установленные им для групп поверхностей. [12]
Фуксовы группы и фундаментальные группы, вообще говоря, были введены как инструменты для работы с проблемами топологии и анализа, необходимо было усовершенствовать эти инструменты, сделать их более эффективными, что вело к развитию понятий и техники комбинаторной теории групп. [13]
Удивительно, что столь естественный вопрос комбинаторной теории групп, рассматриваемый изолированно вне всякой связи с полями алгебраических чисел, не был решен раньше, хотя со времен И. [14]
Райдемайстером будем работать почти исключительно с комбинаторными клеточными комплексами. В действительности, теория двумерных комплексов в большой степени синонимична комбинаторной теории групп в том смысле, в котором мы ее понимаем; и поразительно, как часто сложные алгебраические рассуждения впоследствии заменялись более элегантными рассуждениями геометрического или топологического характера. [15]