Cтраница 2
Напомним, что в главе 1 мы называли группу свободной, если она обладает представлением, не содержащим нетривиальных соотношений. Согласно следствию 1.1.6 ( с), каждая группа является гомоморфным образом свободной группы, и это определяет ту центральную роль, которую свободные группы играют в комбинаторной теории групп. В главе 1 свободные группы возникали также как фундаментальные группы графов, и мы видели, что этот способ представления свободных групп позволяет получать результаты об их подгруппах. В этом разделе мы будем работать непосредственно со словами и получим отсюда некоторые элементарные свойства свободных групп. [16]
Под комбинаторной теорией групп в самом широком смысле мы понимаем теорию, относящуюся к представлениям групп, то есть группам, заданным множествами образующих элементов и соответствующих определяющих соотношений. Эта теория возникла примерно в 1880 г. как часть комплексного анализа в работах Клейна, Пуанкаре и других математиков при изучении фуксовых групп. Особое значение с точки зрения комбинаторной теории групп имела работа Дика, кто первым выделил понятие свободной группы; день появления этой работы можно считать днем рождения комбинаторной теории групп как самостоятель-йой дисциплины. Своего совершеннолетия эта теория достигла примерно через тридцать лет ( около 1910 г.) после работы Дэна по проблемам разрешения для фундаментальных групп замкнутых поверхностей. [17]
Группа узла - это сильный инвариант, но с ней, вообще говоря, трудно работать. Наиболее эффективные методы точных вычислений используют первую группу гомологии бесконечного циклического расширения в теории модулей и полиномов Алек-сандера. Хотя при этом очень красиво проявляется взаимодействие между геометрией и комбинаторной теорией групп, мы уклонимся от обсуждений этого. [18]
Наша третья глава посвящена изучению круга вопросов, с которых в свое время началась комбинаторная теория групп: фуксовых групп и фундаментальных групп поверхностей с точки зрения их действия на плоскости. Здесь глубокая взаимосвязь геометрических и алгебраических методов особенно поражает. В главе 4 мы сосредотачиваем наше внимание на рассмотрении примеров применения топологических и геометрических приемов к проблемам комбинаторной теории групп. Основная использующаяся здесь техника - метод диаграмм сокращений - интересный пример того, как геометрические идеи могут упростить и прояснить алгебраические рассуждения, а также привести к их дальнейшему развитию. В главе 5 мы имеем дело с трехмерными многообразиями и концентрируем наши усилия на изучении тех аспектов этой теории, где важные результаты могут быть получены в первую очередь при помощи использования фундаментальных групп. В отличие от случая поверхностей, где фундаментальная группа относительно легко вычисляется и содержит в себе практически всю топологическую информацию о поверхности, с фундаментальными группами трехмерных многообразий трудно работать, и полного топологического описания многообразия знание фундаментальной группы, как правило, не дает. [19]
Под комбинаторной теорией групп в самом широком смысле мы понимаем теорию, относящуюся к представлениям групп, то есть группам, заданным множествами образующих элементов и соответствующих определяющих соотношений. Эта теория возникла примерно в 1880 г. как часть комплексного анализа в работах Клейна, Пуанкаре и других математиков при изучении фуксовых групп. Особое значение с точки зрения комбинаторной теории групп имела работа Дика, кто первым выделил понятие свободной группы; день появления этой работы можно считать днем рождения комбинаторной теории групп как самостоятель-йой дисциплины. Своего совершеннолетия эта теория достигла примерно через тридцать лет ( около 1910 г.) после работы Дэна по проблемам разрешения для фундаментальных групп замкнутых поверхностей. [20]
Фуксовы группы и фундаментальные группы, вообще говоря, были введены как инструменты для работы с проблемами топологии и анализа, необходимо было усовершенствовать эти инструменты, сделать их более эффективными, что вело к развитию понятий и техники комбинаторной теории групп. Первоначально использовавшиеся методы были преимущественно алгебраическими: метод приведения Нильсена и метод наименьших представителей классов смежности Шрайера, использованные для доказательства того, что подгруппа свободной группы свободна, усовершенствование последнего А. Г. Ку-рошем для описания подгрупп свободного произведения - вот их типичные примеры. Одна из наших целей здесь - подчеркнуть, что между комбинаторной теорией групп и топологией идет взаимовыгодный обмен идеями, и мы докажем отмеченные выше теоремы, используя связь между накрытиями пространства и подгруппами его фундаментальной группы. [21]
Оказывается это остается верным и для топологических поверхностей из-за теоремы Радо [161] ( см. также [206], 25, 7.5. 1J), утверждающей, что вое поверхности триангулируемы и что в размерности 2 выполнена основная гипотеза о триангуляции - хауптфермутунг - , утверждающая, что любые две триангуляции одной и той же поверхности имеют изоморфные подразбиения. Далее, любые две ( вещественно) дифференцируемые структуры на поверхности эквивалентны. Как следствие этого, топологические и вещественно дифференцируемые поверхности могут классифицироваться по гомологическим инвариантам: ориентируемости, эйлеровой характеристике, граничным свойствам. Это дает основание тому, что главные топологические свойства поверхностей могут изучаться на уровне методов комбинаторной теории групп. [22]
Том заканчивается подборкой статей, принадлежащих ведущим исследователям в нестандартной области. Stroyan [1 ]) разъясняется соотношение между подходом к нестандартному анализу, основанным на суперструктурах, и принадлежащей Нельсону внутренней теорией множеств. Еще один вклад Строяна в сборник ( Stroyan [1 ]) - современное введение в принадлежащую Беннингхофену, Рихтеру и Строяну теорию супер-бесконеч -: но малых, включающее также теорему Катлэнда о я-переносе; в то же время статья Benninghofen, Richter [1 ] посвящена совершенно иной теме, а именно - комбинаторной теории групп. [23]