Cтраница 2
Как и в других областях техники, прогресс в фотонике прямо связан с тем, насколько глубоко поняты и проработаны базовые физические принципы, лежащие в ее основе. Если на ранних стадиях разработки какого-либо вопроса вполне допустимо использование тех или иных приближений, то с течением времени обычно возникает потребность в самодостаточной замкнутой теории. [16]
Ньютона ненаблюдаемо в чисто механических опытах. Если бы такая ситуация сложилась в наши дни, то сразу было бы четко осознано, что мы стоим перед дилеммой: либо примириться с тем, что классическая механика не есть логически замкнутая теория, либо принять, что абсолютное пространство не имеет смысла и подлежит изгнанию из формулировки основ механики. Однако такой отваге в выявлении конфликтов между логикой и здравым смыслом нас научил только Эйнштейн ( проследивший все парадоксальные следствия из ненаблюдаемости абсолютного пространства в любых физических опытах), наши научные предки были не так придирчивы к логике и больше полагались на самоочевидный здравый смысл, так что только немногие испытывали неудовлетворенность ньютоновым механически-ненаблюдаемым абсолютным пространством. В результате, как это часто случается, реальное развитие науки не пошло логически прямолинейным путем, и современный взгляд на основы классической механики выработался только после создания и под влиянием теории относительности. [17]
Обычный подход к этой проблеме сводится к утверждению о том, что у квантовой механики нет иного выбора, как постулировать сосуществование двух первичных и не сводимых друг к другу процессов: обратимой и непрерывной эволюции, описываемой уравнением Шредингера, и необратимой и дискретной редукции волновой функции к одной из входящих в нее собственных функций в момент измерения. Возникает парадокс: обратимое уравнение Шредингера может быть проверено лишь с помощью необратимых измерений, которые это уравнение, по определению не может описывать. Следовательно, квантовая механика не может быть замкнутой теорией. [18]
Обычный подход к этой проблеме сводится к утверждению о том, что у квантовой механики нет иного выбора, как постулировать сосуществование двух первичных и не сводимых друг к другу процессов: обратимой и непрерывной эволюции, описываемой уравнением Шредингера, и необратимой и дискретной редукции волновой функции к одной из входящих в нее собственных функций в момент измерения. Возникает парадокс: обратимое уравнение Шредингера может быть проверено лишь с помощью необратимых измерений, которые это уравнение, по определению, не может описывать. Следовательно, квантовая механика не может быть замкнутой теорией. [19]
Теория с умолчаниями А ( D, F) подразумевает некоторое ( нулевое или большее) число множеств предположений, которые выводимы с использованием множества формул F, и удовлетворяют свойству выполнимости. Эти множества предположений называются расширениями данной теории с умолчаниями. Расширения теории с умолчаниями явно определены здесь лишь для замкнутых теорий. Открытую теорию можно преобразовать эффективным образом в замкнутую, заменяя каждое открытое умолчание множеством всех его конкретизации, получаемых посредством применения открытых умолчаний к универсуму Эрбрана данной теории. Заметим, что теории, содержащие функциональные символы ненулевой арности, имеют бесконечную эрбранову область. [20]
Снова читателю следует убедиться в том, что каждая теория A ( N) задается некоторым множеством предложений чистого языка равенства, рассматриваемых в качестве аксиом. Чтобы сделать систему наших обозначений более полной, введем также наименование 2 ( N) для замкнутой теории, задаваемой единственной аксиомой a ( N), где множество N конечно. Следствие 1.5.9 показывает, что A ( N) и 2 ( N) - единственные замкнутые теории в чистом языке равенства. [21]
Вопрос об определении течей стоит особенно остро в современных технологиях. Необходимо определять каналы диаметром меньше 1 мкм, которые обычно заполнены водой. Поэтому важно изучение поведения воды в этих каналах для решения этой проблемы. Однако замкнутой теории жидкостей в малых емкостях в настоящее время нет, поэтому трудно решаются проблемы каналов негерметичностей. Известно только, что ультразвук сильно увеличивает скорость протекания по каналам капилярных размеров. Вопрос о свойствах жидкости в малых каналах имеет также отношение к проблеме извлечения нефти из пластов. Известно, что свойства бетона меняются в зависимости от водоподго-товки и внешних воздействий на воду в процессе его схватывания. [22]
Как уже отмечалось, если макроскопические явления меняются достаточно плавно во времени и в пространстве ( в соответствии с правыми частями неравенств (2.5) и (2.6)), то свойства системы можно рассматривать как непрерывные функции непрерывных переменных г и t в гидродинамической шкале. Само определение макроскопических потоков через локально-равновесные термодинамические переменные выходит за рамки возможностей макроскопической теории. Оно проводится либо эмпирическим путем, либо в рамках более фундаментальной молекулярно-кинетической теории. По этой причине феноменологическая термодинамика неравновесных процессов, так же как и термостатика, не представляет собой замкнутой теории. [23]
Теория Г называется замкнутой, если ей принадлежит всякое ее следствие. Множество высказываний А называется множеством аксиом теории Г, если Г и А имеют одни и те же следствия. Теория называется конечно аксиоматизируемой, если она обладает конечным множеством аксиом. Поскольку из конечного множества аксиом можно построить их конъюнкцию, всякая конечно аксиоматизируемая теория может быть задана единственной аксиомой. Множество Г всех следствий теории Г является единственной замкнутой теорией, содержащей Г в качестве множества аксиом. [24]
Солнца и близко к пределу, вычисленному точно. В этот расчет входит gf, относящееся к нуклонам ( протонам), так как электроны в белых карликах с М & MQ релятивистские и их масса не должна входить в ответ. В оценке опущены численные множители типа 2 3 я и отношения атомного веса к атомному номеру. Однако еще раньше Дирак смело применил идеологию больших чисел к космологии. Конкретно это применение будет рассмотрено ниже. При отсутствии логически замкнутой теории намеки или указания на роль больших чисел неоднозначны. [25]
Данный параграф посвящен более строгому ( чем это было сделано в § 3.5) математическому исследованию уравнения для плотности вероятностей концентрации в свободных турбулентных течениях. Обсуждаются такие общие качественные свойства уравнения, как особые точки, существование автомодельного решения, постановка краевой задачи. Отмечаются имеющиеся аналогии со случаем статистически однородного поля концентрации, рассмотренного в § 3.4. Важную роль в проведенном анализе играют существенно нелокальные свойства уравнения. Показано, что условие разрешимости краевой задачи позволяет найти две неизвестные функции, входящие в замыкающие соотношения. В данном, а также в следующем параграфе ( в нем приведено численное решение сформулированной краевой задачи) преследуются две главные цели. Первая - дать обоснование приближенного метода исследования уравнения, описанного в § 3.5. Вторая цель - показать на примере уравнения для плотности вероятностей концентрации, что с развитием направления, предложенного в книге, могут быть связаны вполне определенные перспективы построения замкнутой теории турбулентности. По крайней мере в настоящее время удается уменьшить количество произвольных функций по сравнению с полуэмпирическими теориями для одноточечных моментов. Заметим, что проведенное исследование сопряжено с большим количеством достаточно громоздких выкладок, а также с использованием ряда неформальных качественных соображений. Материал этого параграфа рассчитан в первун. Колмогорова - Обухова, и те возможности, которые предоставляют такие уравнения ( или уравнения с похожими свойствами) в решении проблемы замыкания в теории турбулентности. Остальные читатели могут этот параграф пропустить и сразу перейти к § 3.7, в котором приведено численное решение автомодельной задачи и в краткой форме перечислены основные результаты исследования уравнения. [26]
В данной главе рассматривается уравнение для плотности вероятностей концентрации динамически пассивной примеси. Здесь подробно обсуждаются гипотезы, используемые для замыкания этого уравнения. Анализируются решения замкнутого уравнения в случае статистически однородного поля концентрации и в свободных турбулентных течениях. В главе преследуются три основные цели. Первая является чисто практической и заключается в том, чтобы дать простой приближенный метод определения распределения вероятностей концентрации и коэффициента перемежаемости в струях. Эта задача решается по возможности без сложных математических выкладок. Вторая цель - исследовать математические свойства уравнения для плотности вероятностей концентрации, сформулировать краевую задачу и показать, что из условия разрешимости этой краевой задачи вытекают дополнительные связи между заранее не известными функциями, входящими в замыкающие соотношения. Этот результат имеет принципиальное значение, так как из него следует, что развиваемый подход позволяет сократить количество произвольных функций по сравнению с обычными полуэмпирическими теориями для одноточечных моментов. Не исключено, что новые пути построения замкнутой теории турбулентности будут связаны с совершенствованием этого подхода. [27]