Cтраница 2
Уместно заметить, что значительная часть теории вероятностей, касающаяся распределений в пространствах конечного числа измерений и используемая, например, в классических вопросах математической статистики, может быть изложена без обращения к общей теории меры. Привлечение методов общей теории меры и интеграла Лебега становится неизбежным, когда рассматриваются распределения в бесконечных произведениях пространств. [16]
Уместно заметить, что значительная часть теории вероятностен, касающаяся распределений в пространствах конечного числа измерений и используемая, например, в классических вопросах математической статистики, может быть изложена без обращения к общей теории меры. Привлечение методов общей теории меры и интеграла Лебега становится неизбежным, когда рассматриваются распределения в бесконечных произпеденпях пространств. [17]
Халмоша посвящена систематическому изложению теории меры и абстрактного интеграла Лебега и некоторым их приложениям, главным образом к теории вероятностей и к топологической алгебре. Первые восемь глав книги содержат общую теорию меры в абстрактном пространстве. Понятие независимости множеств приводит к теоретико-множественной трактовке основ теории вероятностей ( гл. IX), а введение в исходном пространстве топологии - к изучению меры в локально компактных пространствах ( гл. Следует отметить, что этот последний круг вопросов сравнительно мало освещен в монографической литературе. [18]
Описанный сейчас подход к основным понятиям теории вероятностей стал после появления монографии А. Н. Колмогорова [1] наиболее распространенным. Иногда даже говорят, что теория вероятностей превратилась в автономную часть общей теории меры; при этом, однако, не учитывают, что сама теория меры за последние десятилетия сильно изменила свое лицо, приобретая все более вероятностную окраску. [19]
Учебник соответствует программе курсов Функциональный анализ, Теория операторов, Анализ III, которые читаются в МГУ и других университетах. В книге приведены основные теоретико-множественные понятия, представлена общая теория метрических, топологических, линейных топологических и нормированных пространств, общая теория меры, измеримых функций и интеграла Лебега. Подробно рассмотрены теория операторов в гильбертовом пространстве, спектральная теория самосопряженных операторов, применения методов теории аналитических функций в спектральной теории песамосопряжснных операторов, теория преобразования Фурье и обобщенные функции. [20]
IV-VI) посвящена элементам общего стохастического анализа и теории случайных процессов, и касается таких разделов, как стохастические ряды и интегралы, стохастические дифференциальные уравнения и др. На самом простом, по возможности, материале здесь дается представление о специфике основных понятий и методов для различных типов случайных процессов. Изложение предполагает знакомство с начальными понятиями функционального анализа; при этом, хотя формально не требуется знания интеграла Лебега, знакомство с основами общей теории меры и интеграла существенно поможет активному овладению материалом. [21]
Он опирается на общую теорию меры и интеграла. [22]
На евклидовой плоскости школьная геометрия учит измерять площади таких фигур, как прямоугольники, треугольники и, с некоторым трудом, круги. Обобщение этих понятий дает глубокая общая теория меры, естественное место которой не здесь. [23]
Применения теории вероятностей могут получить единообразное обоснование. Дело идет всегда о следствиях гипотез о невозможности теми или иными указанными средствами сократить сложность описания изучаемых объектов. Естественно, что такой подход к делу не мешает тому, чтобы теория вероятностей как часть математики развивалась как специализация общей теории меры. [24]
Для читателя, знакомого с общей теорией меры, положение может быть охарактеризовано следующим образом. Мы рассматриваем только те события, которые зависят от конечного числа испытаний или же являются пределами монотонной последовательности таких событий. Однако общая теория меры показывает, что наши пределы не зависят от способа перехода к пределу и являются вполне аддитивными функциями множеств. [25]
X, ц) зависит и от выбора пространства X, и от выбора меры [ г в нем. Например, если мера ( г сосредоточена в конечном числе точек, то 1г ( X, ц) будет просто конечномерным пространством. В анализе основную роль играют пространства Z. Для того чтобы охарактеризовать такие пространства Lv введем еще одно понятие, относящееся, собственно, к общей теории меры. [26]
Ясно, что пространство L ( X, л) зависит и от выбора пространства X, и от выбора меры [ А в нем. Например, если мера ( J, сосредоточена в конечном числе точек, то L1 ( X, ц) будет просто конечномерным пространством. В анализе основную роль играют пространства L бесконечной размерности, но содержащие счетное всюду плотное подмножество. Для того чтобы охарактеризовать такие пространства Llt введем еще одно понятие, относящееся, собственно, к общей теории меры. [27]
К-оши ( 1823) нри дал этой идее точный смысл в применении непрерывным функциям. Затем Риман ( 1854) ввел в рассмотрение класс всех функций, для которых пригодно определение интеграла по Коши. Стилтьесом ( 1894) было введено интегрирование по функции обложения, позволяющее объединить чистое интегрирование с дискретным суммированием. Перечисленные достижения XIX века были перекрыты в XX веке работами Лебега и его последователей, в результате которых была создана общая теория меры и интеграла. [28]
Андрей Николаевич сумел использовать для аксиоматизации теории вероятности уже готовый мощный инструмент - так называемую теорию меры. Идея такого использования принадлежит не ему. Но мы уже знаем А.Н. Колмогорова именно как специалиста по трудным проблемам. Первый вариант его аксиоматики теории вероятностей был опубликован в 1929 году ( Общая теория меры и исчисление вероятностей), окончательный результат появился в 1933 году в виде уже упоминавшейся классической монографии. [29]