Cтраница 2
Суть конечно-разностных методов решения дифференциальных уравнений состоит в переходе от непрерывного описания, соответствующего моделям в дифференциальной форме, к описанию дискретному. Прежде всего область непрерывного изменения аргументов т, t заменяется дискретным множеством точек ( узлов), которое образует расчетную сетку Xi ihx, У, - jhy zkkhz, t пт, где hx, hy, hz - шаги сетки по пространственным координатам; т - шаг по времени; /, /, k - целые числа. В общем случае шаги hx, hy, hz могут быть различными в разных подобластях расчетной области и, кроме того, меняться с течением времени, что диктуется характером решаемой задачи и априорной информацией о ней. [16]
Это условие равносильно тому, чтобы упомянутый радикал был отрицательно мнимым при 6 а или положительно мнимым при б - а на вещественной оси. В этом нетрудно убедиться, следя за непрерывным изменением аргумента упомянутого радикала. [17]
Построение разностной схемы в задачах гидродинамики можно рассматривать как замену непрерывной среды, описываемой дифференциальными уравнениями, некоторым дискретным ее аналогом, эволюция которого происходит по законам, выражаемым разностными уравнениями. При такой замене возникают новые параметры - шаги ( по времени и пространству) разностной сетки, которая вводится вместо области непрерывного изменения аргумента. Однако разностная схема близка к исходной системе дифференциальных уравнений лишь асимптотически при неограниченном измельчении шагов сетки. При конечных шагах сетки, используемых на практике, дискретная модель среды, описываемая разностными уравнениями, может заметно отличаться от непрорывной среды. Это различие зачастую порождает в расчетах паразитические эффекты разностного происхождения, снижающие ценность разностного решения. [18]
Следует заметить, что распределение температур в изоляции в каждый момент времени принято стационарным, что позволяет сократить время оперативных расчетов. Система уравнений (8.28) не поддается аналитическому решению, поэтому обычно используют численные методы. Область непрерывного изменения аргументов заменяют дискретным множеством точек сеткой с шагом А т по времени и Ах по длине. Шаги сетки постоянные, т.е. сетка равномерная. Необходимо отметить, что на каждом шаге Дт система решается итеративно. Уравнения системы (8.28) решают поочередно, каждое относительно той переменной, которая входит в оператор дифференцирования, в то время как другую переменную при этом рассматривают как параметр со значением, равным ее значению на предыдущей итерации. Практика показала, что благодаря достаточной гладкости процесса для достижения хорошей точности достаточно трех-пяти итераций. Поэтому в данной программе не предусмотрено вычисление числа итераций по какому-либо критерию. Число итераций задают по вводу, что обеспечивает экономию машинного времени. [19]
Наиболее распространенным и универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. Его сущность состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента ( например, отрезок) заменяется дискретным мнО жеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в Уравнение производных используются соответствующие конечно-разностные соотношения ( см. гл. Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки. [20]
Наиболее распространенным и универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. Его сущность состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента ( например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение производных используются соответствующие конечно-разностные соотношения ( см. гл. Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки. [21]
Входящий в него радикал У а - - J2 будет, как мы знаем [19], однозначной функцией на плоскости 9 с разрезом ( - а, ) вдоль вещественной оси. Это условие равносильно тому, чтобы упомянутый радикал был отрицательно мнимым при 9 а или положительно мнимым при 6 - а на вещественной оси. В этом нетрудно убедиться, следя за непрерывным изменением аргумента упомянутого радикала. [22]
Приближенное решение может быть найдено лишь в некотором конечном множестве точек. При численном решении дифференциальное уравнение необходимо заменить его конечно-разностным аналогом. С этой целью область непрерывного изменения аргумента следует заменить дискретной областью и вместо дифференциального оператора использовать так называемый разностный оператор уравнения. После этого приближенное численное решение дифференциального уравнения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. [23]