Cтраница 3
Аналогично, чтобы доказать, что клеверный лист отличается от восьмерки, достаточно показать, что их группы неизоморфны. К сожалению, не существует общего приема решения вопроса, определяют или нет изоморфные группы два данных копредставления. Из теоремы Титце известно, что если две группы изоморфны, то их конечные копредставления связаны друг с другом операциями Титце. А нам нужен некий стандартный прием, позволяющий находить, исходя из копредставления группы, некоторые легко вычислимые алгебраические величины, одинаковые для изоморфных групп и называемые вследствие этого групповыми инвариантами. Это значит, что тип группы узла слишком сложен как инвариант, и, следовательно, мы должны перейти к более простым в обращении. Здесь, однако, есть опасность выплеснуть ребенка вместе с водой из ванны: при переходе к более простым инвариантам неизбежно теряется часть информации. [31]
Ниже мы построим верхние копредставления для нескольких узлов. Воспользуемся, как уже отмечалось в предыдущем параграфе, копредставлением типа (3.1) вместо (1.1), так как оно проще, и, кроме того, тем фактом, что одно произвольное соотношение может быть опущено. Получающиеся копредставления часто бывают довольно сложными и могут быть упрощены использованием операций Титце. Некоторые такие редукции проиллюстрированы на следующих примерах. [32]
Важность теоремы Титце состоит в том, что она сводит проверку того, что заданная функция на копредстав-лениях групп зависит только от самих групп, к проверке тогд, что функция не меняется операторами Титце I и II. Так как будет показано, что копредставления, отличающиеся лишь на два оператора Титце, определяют изоморфные последовательности идеалов, то мож но будет сделать вывод, что элементарные идеалы являются групповыми инвариантами. [33]
Аналогично, чтобы доказать, что клеверный лист отличается от восьмерки, достаточно показать, что их группы неизоморфны. К сожалению, не существует общего приема решения вопроса, определяют или нет изоморфные группы два данных копредставления. Из теоремы Титце известно, что если две группы изоморфны, то их конечные копредставления связаны друг с другом операциями Титце. А нам нужен некий стандартный прием, позволяющий находить, исходя из копредставления группы, некоторые легко вычислимые алгебраические величины, одинаковые для изоморфных групп и называемые вследствие этого групповыми инвариантами. Это значит, что тип группы узла слишком сложен как инвариант, и, следовательно, мы должны перейти к более простым в обращении. Здесь, однако, есть опасность выплеснуть ребенка вместе с водой из ванны: при переходе к более простым инвариантам неизбежно теряется часть информации. [34]
Рассмотрим группу топологических отображений круга самого на себя. По теореме об инвариантности области при подобном отображении граница х - - у2 - 1 переходит сама в себя и нам следует различать два случая в зависимости от того, сохраняет ли отображение ориентацию граничной окружности или же не сохраняет ее. Если мы рассмотрим только отображения первого типа, то естественно возникает предположение, что они образуют непрерывную группу; это и составляет содержание теоремы Титце о деформации. [35]
Я, или у Гильмана и Джерисона [ 1, стр. Титце установил этот результат для метрических пространств; Урысон обобщил его на нормальные пространства. Свойство, выражаемое теоремой Урысона - Титце, - характеристическое для нормальных пространств. [36]
Хотя теоретически отображения I и V определяются тривиально, а отображения II и 1Г - не совсем, при конкретных вычислениях получается обратное. Действительно, проверка того, что некий элемент ( или соотношение) является следствием некоторых других, может быть крайне затруднительной. Та же самая трудность встречается и в доказательстве фундаментальной теоремы Титце, которую мы собираемся доказать. Следующая лемма необходима для того, чтобы оправдать употребление отображений I и Iх в этом доказательстве. [37]
Бюхи в Массачусетсском технологическом институте ( Кембридж, США) и короткой научной стажировки у А. В 1977 г. Титце был приглашен в качестве научного советника и профессора в Дортмунд, а в 1978 г. - в качестве ст. профессора и директора института в Геттингенском университете, где и работает в настоящее время. Его приглашали для чтения цикла лекций в Мэдисон ( США); он был избран ( в Геттингене) членом Академии наук, членом Королевского химического общества, является лауреатом премии К. [38]
Ниже мы обсудим результаты, соответствующие только крайним из указанных значений. На рис. 4.216 в терминах истинных напряжений и истинных деформаций приведены результаты серии опытов с первоначальным нагружением при 292 К до указанных конечных деформаций и затем, после разгрузки, с повторным нагружением до конечной деформации при 78 К. Дорн, Голдберг и Титц заметили, что конечная деформация при повторном нагружении при более низкой температуре не следует функции отклика ( штриховая линия), полученной при проведении опыта сразу именно при такой температуре. [39]
Обратно, любая такая пара эквивариантных отображений задает отображение, удовлетворяющее наложенным на Ф условиям. Если type G ( а) type С / Я, Tof ( a) 0, так как в Y имеются лишь орбиты типа С / Я Так как множество всех орбит типа, меньшего чем type С / Я, замкнуто ( его дополнение открыто в силу 5.5), тоф продолжается на него нулем. Следовательно, мы можем считать, что А содержит все орбиты типа, меньшего чем type С / Я. Так как множество всех орбит тина, не превосходящего type С / Я, тоже замкнуто ( см. упражнение 4 гл. I), то и множество Л U Х ( я) замкнуто. Я) состоит из орбит меньшего типа, то Х ( Н) - Х ( Н с: Z. Кроме того, f продолжается на Ли / д в силу классической теоремы Титце, примененном к индуцированному отображению пространств орбит. При этом можно добиться того, чтобы / было отлично от нуля во всех точках множества Х ( я: действительно, можно прибавить к f вещественную ( эквивариант-ную) функцию, равную нулю в точности на А ( например, взять расстояние до точки Л / С в некоторой метрике на X / G) и затем поделить эту сумму на большое число с тем, чтобы она не превосходила единицу. [40]