Cтраница 2
Принцип затухающей памяти гласит, что если заданы две предыстории, которые почти совпадают в недавнем прошлом, но могут сильно различаться в отдаленном прошлом, то соответствующие им два значения зависимой переменной должны быть весьма близкими. Это требование удовлетворяется при условии, что функционал состояния предполагается непрерывным в смысле соответствующей топологии пространства предыстории, которая определяет малое расстояние между такими функциями. Точная формулировка принципа затухающей памяти должна быть дана в терминах предположений непрерывности и гладкости функционалов состояния. [16]
Так как эти уравнения имеют гиперболическую природу, то у них много негладких решений. Локально гиперфункции можно рассматривать как элементы сопряженного пространства к пространству вещественно аналитических функций, снабженному соответствующей топологией. Глобально это неверно; в общем случае гиперфункции не являются элементами сопряженного пространства. Сато показал, что их можно с большой пользой описывать как локальные суммы скачков граничных значений голоморфных функций, определенных на комплексификации данного вещественно аналитического многообразия. В теории обобщенных функций Шварца дифференцирование сводится к дифференцированию пробных функций и использованию обычной формулы интегрирования по частям. В теории гиперфункций гиперфункции представляют как алгебраические суммы скачков граничных значений голоморфных функций, затем дифференцируют эти голоморфные функции и, переходя к граничным значениям продифференцированных функций, получают искомые производные гиперфункций. Имеется вполне корректное исчисление гиперфункций, которое опирается на тонкие результаты теории голоморфных функций многих комплексных переменных точно так же, как теория Шварца опирается на соответствующие результаты о локально выпуклых топологических векторных пространствах. Кроме того, для определения упомянутых алгебраических сумм используется гомологическая алгебра в той форме, в какой она фигурирует в алгебраической геометрии и комплексном анализе. [17]
Зависимость от начальных данных непрерывна в очень сильной степени. При изменении начальных данных непрерывным образом в пространстве Lt решение меняется непрерывно в пространстве аналитических функций с соответствующей топологией, в которой непрерывное стремление к пределу осуществляется сразу для всех производных. Из аналитичности решений следуют, конечно, отсутствие лакун и бесконечная скорость распространения возмущения. [18]
Изложенные в этой главе результаты не исчерпывают всех полученных методом предельных уравнений достаточных условий устойчивости различных типов. Условия устойчивости системы ( 1.2. выражены, как правило, в терминах устойчивости предельной системы, построенной в соответствующей топологии. Поэтому получение конкретных достаточных условий устойчивости определенного типа предельной системы является актуальной задачей развития метода предельных уравнений в качественной теории уравнений. [19]
Разрешимость уравнения ( 2) для произвольного / е §, , устпишишппстся с помощью стандартной схемы ( ср. Вц аппроксимируется функциями Д ( у) Е § i s и доказывается, что соотис гстпуюшии последовательность решений uk ( y) G Fm i) 5 сходится в соответствующей топологии к искомому решению. [20]
На пространстве В рассмотрим слабую топологию; соответствующую топологию а В X М также условимся называть слабой. [21]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ( i) Напомним сначала, что если на множестве К определены две отделимые топологии т и Т2, относительно которых К компактно, причем естественное вложение ( К п) - ( К т %) непрерывно, то это отображение - гомеоморфизм. Из этого простого соображения вытекает, во-первых, что на компакте К в локально выпуклом пространстве X слабая топология совпадает с исходной, а во-вторых, что слабая топология совпадает и со всякой топологией на К, порождаемой каким-либо семейством непрерывных линейных функционалов, разделяющих точки К. Поэтому в случае, когда имеется счетное семейство с таким свойством, соответствующая топология задается, как легко проверить, указанной выше метрикой. [22]
Применим теперь ТОГ к вопросам, связанным с метризацией ЛТП. Две инвариантные метрики d, d % в линейном пространстве Е называются эквивалентными, если они определяют одну и ту же линейную топологию. Говорят еще, что d слабее, чем d % ( или подчинена dz), если в таком же отношении находятся соответствующие топологии. [23]
Обозначим через Нп для каждого целого п 0 множество всех матриц вида / рпи, где U - матрица второго порядка, элементами которой являются целые р-адические числа. Показать, что все Я - подгруппы группы G G, пересечение которых сводится к нейтральному элементу. Вывести отсюда, что если S3 - фильтр, имеющий базис, образованный подгруппами Я, то соответствующие топологии 3 - s и 3 - d B G отделимы; показать, что эти топологии различны. [24]
Большинство устройств образовано, в основном, тонкопленочными металлическими элементами, такими, как ВШП, нанесенными на кристаллическую пьезоэлектрическую подложку. При изготовлении используется метод фотолитографии, иллюстрируемый рис. 1.7. Подложку тщательно полируют для получения оптически плоской поверхности, а затем очищают от посторонних частиц и обезжиривают. На следующем этапе образец покрывают фоторезистом - раствором фоточувствительного полимера и вращают с большой скоростью, стремясь получить тонкий однородный слой. На фотошаблоне имеются непрозрачные области из фотоэмульсии или пленки хрома, соответствующие топологии металлизации изделия. [25]