Cтраница 1
Отделимая топология, мажорируемая топологией нвааикомпактниго пространства, совпадает, с ней. [1]
Заметить, что отделимая топология, мажорируемая топологией компактного пространства, необходимо совпадает с последней. [2]
Пусть 3 - локально ограниченная отделимая топология в толе К, в которой К связно. [3]
Всякая топология, мажорирующий отделимую топологию, отделима. Напротив, топология может мажорировать метризуе-мую топологию, не будучи даже регулярной. [4]
Всякая топология, мажорирующая отделимую топологию, отделима. [5]
Показать, что пересечение всех отделимых топологий в X есть неотделимая топология ч ГСаг 1 ( N) являющаяся также слабейшей достижимой топологией в X. Использовать упражнение 8 § 2 и заметить, что в X имеются отделимые топологии, у которых существуют незамкнутые счетно-бесконечные множества. [6]
И действительно, мы увидим позже, что это - единственная отделимая топология в Е, для которой функции х - у и tx непрерывны ( соотв. [7]
Локально обратно ограниченная топология 3 локально ограниченна и является минимальным элементом множества всех отделимых топологий, согласующихся со структурой кольца в К; кроме того, 3 согласуется со структурой тела в К. [8]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ( i) Напомним сначала, что если на множестве К определены две отделимые топологии т и Т2, относительно которых К компактно, причем естественное вложение ( К п) - ( К т %) непрерывно, то это отображение - гомеоморфизм. Из этого простого соображения вытекает, во-первых, что на компакте К в локально выпуклом пространстве X слабая топология совпадает с исходной, а во-вторых, что слабая топология совпадает и со всякой топологией на К, порождаемой каким-либо семейством непрерывных линейных функционалов, разделяющих точки К. Поэтому в случае, когда имеется счетное семейство с таким свойством, соответствующая топология задается, как легко проверить, указанной выше метрикой. [9]
Вывести отсюда, что в R имеется отделимая топология, согласующаяся со структурой группы, не сравнимая с обычной топологией и такая, что R в ней предкомпактно. [10]
Если для каждой пары различных точек а и b топологического пространства Е существует такое непрерывное отображение / открытого множества А, содержащего а и b, n отделимое пространство Е, что / ( я) 9 / ( Ь), то Е отделимо. В частности, всякая топология, мажорирующая отделимую топологию, отделима. [11]
Показать, что пересечение всех отделимых топологий в X есть неотделимая топология ч ГСаг 1 ( N) являющаяся также слабейшей достижимой топологией в X. Использовать упражнение 8 § 2 и заметить, что в X имеются отделимые топологии, у которых существуют незамкнутые счетно-бесконечные множества. [12]
Показать, что множества VF образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для некоторой отделимой топологии в А, согласующейся со структурой кольца в Л и такой, что А в этой топологии вполне несвязно. [13]
Остается показать, что множество 33 всех окрестностей диаго - нали Л в X х X действительно есть множество всех окружений равномерной структуры, согласующейся с топологией п X. Для этого достаточно убедиться в том, что 33 есть множество всех окружений некоторой отделимой равномерной структуры в X, ибо тогда топология, порождаемая этой структурой, будет отделимой топологией, мажорируемой топологией пространства X ( гл. I, § 2, предложение 3) и, следовательно, необходимо совпадающей с этой последней ( гл. [14]
В силу предложения 5 условие достаточно. Обратно, для доказательства необходимости можно в силу доказанного только что предложения 7 и предложения 3 § 4 ограничиться случаем, когда / сводится к одному элементу, другими словами, случаем, когда & - есть прообраз относительно /: X - Y некоторой отделимой топологии. [15]