Cтраница 2
Всякий полный решеточный гомоморфизм непрерывен в порядковой топологии полной решетки. Полная дистрибутивная решетка L является топологической решеткой относительно порядковой топологии тогда и только тогда, когда в L выполняются оба бесконечных дистрибутивных закона. Другое следствие - любая полная топологическая дистрибутивная решетка является псевдобулевой решеткой. Однако, например, полная псевдобулева решетка всех замкнутых подмножеств действительной прямой не будет топологической решеткой в своей порядковой топологии. [16]
Каждое частично упорядоченное множество является / - пространством в своей интервальной топологии. В любой цепи интервальная топология равносильна внутренней топологии и на полных цепях совпадает с порядковой топологией. Вообще, в полных решетках конечной Л - ширины порядковая и интервальная топологии совпадают. Говорят, что решетка L имеет конечную Г) - ширину, если существует натуральное число п такое, что пересечение любых a n элементов решетки L равно пересечению п из них. [17]
Предположим, что мы имеем упорядоченное множество, состоящее из бесконечной последовательности ах а2 яп а - Топология здесь является порядковой топологией, где окрестность а представляет собой множество всех точек х, таких, что х ап. Вопрос теперь заключается в том, как ввести топологию на частично упорядоченном множестве. Естественно, желательно было бы определить топологию так, чтобы окрестности для совершенно упорядоченных подмножеств были бы теми же, что и окрестности, только что данные для таких множеств. Это требование дает единственную топологию для любого данного частично упорядоченного множества. Если формально изложить то, что сейчас было сказано, то топология определяется следующим образом: если Р - частично упорядоченное множество и S - подмножество Р, то S будет открытым тогда и только тогда, когда пересечение S с каждой максимальной цепью в Р является открытым в смысле порядковой топологии на цепи. [18]
В третьем параграфе рассматривается обобщение топологических булевых алгебр - топологические булевы алгебры с пополнением. Логическая часть всякой ВК-структуры оказывается частным случаем такой алгебры. Для приложений особенно удобны алгебры с пополнением, заданные порядковой топологией. Именно такая алгебра используется в пятом параграфе для доказательства устранимости сечения. [19]
А /; 7 где а, Ь.Х. Легко проверить, что система 1 удовлетворяет условиям теоремы о задании топологии посредством базы, поэтому ft служит базой топологии в X, называемой порядковой топологией. Япю также, что топология па числовой прямой IR1 есть не что иное, как порядковая топология, порожденная естественным порядком в множестве вещественных чисел. [20]
Заметим, что второе условие очевидным образом выполняется во всякой конечной решетке. Так определенные открытые подмножества задают на решетке L топологию Скотта, которая является Го-топологией. Двухэлементная решетка 0 1, наделенная топологией Скотта, есть не что иное, как связное двоеточие ( или пространство Серпинского) О. Если возрастающее подмножество А полной решетки L открыто в порядковой топологии, то А будет открытым и в топологии Скотта. Решетка L непрерывна в смысле Скотта в точности тогда, когда ее открытые подмножества образуют вполне дистрибутивную решетку. Полная решетка L тогда, и только тогда, будет алгебраической, когда базой ее топологии Скотта служит совокупность всех главных фильтров, порожденных компактными элементами. [21]
Всякий полный решеточный гомоморфизм непрерывен в порядковой топологии полной решетки. Полная дистрибутивная решетка L является топологической решеткой относительно порядковой топологии тогда и только тогда, когда в L выполняются оба бесконечных дистрибутивных закона. Другое следствие - любая полная топологическая дистрибутивная решетка является псевдобулевой решеткой. Однако, например, полная псевдобулева решетка всех замкнутых подмножеств действительной прямой не будет топологической решеткой в своей порядковой топологии. [22]
Предположим, что мы имеем упорядоченное множество, состоящее из бесконечной последовательности ах а2 яп а - Топология здесь является порядковой топологией, где окрестность а представляет собой множество всех точек х, таких, что х ап. Вопрос теперь заключается в том, как ввести топологию на частично упорядоченном множестве. Естественно, желательно было бы определить топологию так, чтобы окрестности для совершенно упорядоченных подмножеств были бы теми же, что и окрестности, только что данные для таких множеств. Это требование дает единственную топологию для любого данного частично упорядоченного множества. Если формально изложить то, что сейчас было сказано, то топология определяется следующим образом: если Р - частично упорядоченное множество и S - подмножество Р, то S будет открытым тогда и только тогда, когда пересечение S с каждой максимальной цепью в Р является открытым в смысле порядковой топологии на цепи. [23]