Cтраница 2
Алгебраическая подалгебра t - g диагонализуема тогда и только тогда, когда она является касательной алгеброй некоторого тора Т - G. Максимальные диагонализуемые подалгебры алгебраичны и соответствуют максимальным торам группы G, Если максимальная диагонализуемая подалгебра тривиальна, то G унп-потентна. [16]
С другой стороны, читатель, знакомый с картанов-скими и борелевскими подалгебрами алгебры Ли д, каждая из которых совпадает со своим нормализатором, без труда построит соответствующие подгруппы в группе G. Такие подгруппы будут введены позднее в случае произвольной характеристики основного поля как ( соответственно) максимальные торы и борелевские подгруппы. Будет показано с использованием алгебро-геомет-рических методов, что все подгруппы каждого из типов сопряжены в G. Следовательно, в случае характеристики 0 картановские ( соответственно борелевские) подалгебры алгебры g все сопряжены при помощи элементов группы Ad G. Этот последний результат, разумеется, хорошо известен ( хотя доказывается отнюдь не просто. Ad G определить непосредственно как подгруппу группы Autg, порожденную внутренними автоморфизмами вида exp ad n, где п пробегает элементы алгебры Ли д, для которых эндоморфизм ad n нильпотентен. [17]
РЕГУЛЯРНЫЙ ТОР - алгебраический тор в связной алгебраич. Максимальные торы в G всегда регулярны. В общем случае тор ScG является регулярным тогда и только тогда, когда его централизатор C ( j ( S) - разрешимая группа. S и соответствующие им однопараметрич. Тор, не являющийся регулярным, наз. [18]
Если множество Bs конечно, то мы называем тор 5 регулярным, а в противном случае - сингулярным. У Шевалле [8] и Бореля [4] вместо термина регулярный используется термин полурегулярный. Например, вскоре мы увидим, что максимальные торы регулярны, а в случаях, подобных SL ( n K), компонента единицы ядра корня оказывается сингулярным тором. [19]
Максимальный тор Т является связной разрешимой группой и, следовательно, содержится в некоторой группе Бореля В. Очевидно, Т является максимальным тором в группе В. По теореме 10.6 В Т Ви ( полупрямое произведение), и все максимальные торы группы В сопряжены. Утверждение ( 1) вытекает теперь из сопряженности подгрупп Бореля. [20]
Пусть связная группа G действует на M - G сопряжениями. Стационарная группа любой точки является ее централизатором и имеет тот же ранг1), что и G. Так как в G есть точки ( они называются регулярными), централизаторы которых являются максимальными торами, то главной стационарной подгруппой является максимальный тор Т группы G, и главные орбиты в точности состоят из регулярных точек. Факторгруппа N ( Т) / Т называется группой Вейля группы G, и она действует на эффективно. Так как М7 связ-но, то Ml - Мт, поэтому из 5.2 следует, что любые два элемента из Т, сопряженные в G, на самом деле сопряжены некоторым элементом группы Вейля. Из этой же теоремы 5.2 следует, что регулярные точки, лежащие в торе Г, в точности есть точки, имеющие относительно действия группы Вейля тривиальные стационарные группы. Разумеется, этот факт теории компактных групп Ли хорошо известен и может быть доказан и непосредственно. Эют пример приведен здесь лишь для того, чтобы указать, что теорема 5.2 может рассматриваться как обобщение упомянутого классического результата. [21]
Если группа G редуктивна, то, как мы увидим позднее ( § 26), Cu et C T. Для полупростых или редук-тивных алгебр Ли над полем характеристики 0 аналогичный результат доказывается довольно быстро при помощи формы Киллинга. Таким образом, в роли картановских подгрупп выступают максимальные торы; это сильно облегчает дело, так как полупростые элементы ( и торы) ведут себя единообразно в характеристике 0 и р, чего нельзя сказать об унипотентных элементах. [22]
Сквозное отображение G - G - G / a ( B) индуцирует сюръективный морфизм G / B - G / a ( B), так что многообразие G / a ( B) полно, и, следовательно, а ( В) - параболическая подгруппа. Но группа а ( В) связна и разрешима; следовательно, она сама является подгруппой Бореля. Разложение в полупрямое произведение а ( В) а ( Г) а ( Ви) и тот факт, что a ( Bu) a ( B) UJ следуют из сохранения разложений Жордана при морфизмах. Из теоремы сопряженности вытекает, что все подгруппы Бореля, все максимальные торы и все минимальные связные унйпотентные подгруппы группы G получаются таким путем. [23]
Однако вопрос о действиях произвольных компактных групп Ли на когомологических проективных про странствах гораздо более сложен и заслуживает более глубокого исследования. Как уже было замечено в гл. IV и V, аналогичные общие структурные теоремы о когомологической линеаризации в общем случае не верны. V и § 1 настоящей главы на различных пробных задачах было показано, что различные частные структурные теоремы ( при соответствующих предположениях о геометрической простоте) можно в действительности доказать с помощью теоремы о максимальных торах и структурных теорем для действий торов. Грубо говоря, из теоремы о максимальных торах следует, что структура орбит действий компактной связной группы Ли G на пространстве X и структура орбит ограничения действия на максимальный тор Т группы G тесно связаны между собой. Поэтому из когомологической теоремы линеаризации для действий тора будет, конечно, следовать, что структура орбит первоначального G-действия очень напоминает структуру орбит подходящей линейной модели. В этом заключается основная идея метода геометрической системы весов, который позволяет сформулировать и решить много интересных задач. [24]
Однако вопрос о действиях произвольных компактных групп Ли на когомологических проективных про странствах гораздо более сложен и заслуживает более глубокого исследования. Как уже было замечено в гл. IV и V, аналогичные общие структурные теоремы о когомологической линеаризации в общем случае не верны. V и § 1 настоящей главы на различных пробных задачах было показано, что различные частные структурные теоремы ( при соответствующих предположениях о геометрической простоте) можно в действительности доказать с помощью теоремы о максимальных торах и структурных теорем для действий торов. Грубо говоря, из теоремы о максимальных торах следует, что структура орбит действий компактной связной группы Ли G на пространстве X и структура орбит ограничения действия на максимальный тор Т группы G тесно связаны между собой. Поэтому из когомологической теоремы линеаризации для действий тора будет, конечно, следовать, что структура орбит первоначального G-действия очень напоминает структуру орбит подходящей линейной модели. В этом заключается основная идея метода геометрической системы весов, который позволяет сформулировать и решить много интересных задач. [25]
Заметим, что Z - неприводимое многообразие, ибо многообразие У неприводимо, и слои канонического отображения неприводимы. Поэтому морфизм ZX5 - S, определяемый соотношением ( г, 5) ь - г - 15г, имеет смысл. При фиксированном zeZ полученный морфизм S - B / BU является, очевидно, гомоморфизмом торов. В частности, г - 15г содержится в связной разрешимой группе SBth в которой группы z - lSz и S являются максимальными торами. [26]