Cтраница 2
Эйлеровы координаты и время t называются переменными Эйлера. Если величина ф является функцией переменных Эйлера, говорят, что поле этой величины задано по Эйлеру. Точка зрения Эйлера на изучение движения сплошной среды состоит в том, что наблюдатель следит с течением времени за величиной ф в точках пространства, фиксированных эйлеровыми координатами. [16]
Предыдущий вывод уравнения неразрывности в переменных Эйлера представляет в сущности перефразировку вывода в переменных Лагранжа, так как мы рассматривали изменения плотности и объема в некоторой части жидкости, состоящей из одних и тех же частиц, следуя за ней при ее движении. Можно получить уравнение неразрывности в переменных Эйлера и другим методом, оставаясь строго на точке зрения Эйлера. Для этого достаточно рассмотреть поток вектора ро сквозь некоторую неподвижную замкнутую поверхность S произвольной формы. [17]
Понятие о функции, конечно, требует точного выяснения в самом начале изложения анализа. В своем взгляде на функцию он в середине двадцатых годов ( по конспекту, составленному на 1825 г), по существу, еще придерживается точки зрения Эйлера, что функция определяется действиями, которыми она выражается; но он сознает уже трудности, которые с этой точкой зрения связаны. Он говорит: Всякая функция достаточно определяется тем действием, которое оно выражает; или помощию условий, которым она должна удовлетворить; но только в последнем случае нельзя предпринять никакого вычисления для отыскания значения функции, не предложив для нее определенного вида, И разыскание вида функции он видит в ее разложении в ряд ( методом неопределенных коэффициентов), явно приближаясь к воззрениям Лагранжа. Но в то время как Лагранж определяет функцию исключительно степенным рядом, Лобачевский предусматривает также выражение функции тригонометрическим рядом. Учение Фурье ( 1822 г.) было еще новым, но Лобачевский им уже хорошо владел и вносил в свое преподавание. [18]
Я сначала повторил опыт в тех же условиях, которых придерживался ранее, и подтвердил полученные тогда результаты. После 180-часового освещения жидкость оставалась совершенно прозрачной, в то время как при пропускании углекислоты она уже заметно мутнела через 30 минут. Дальнейшие опыты показали, однако, что здесь имеет место случайное равновесие между восстанавливающим действием света и окисляющим действием кислорода. Точка зрения Эйлера, таким образом, совершенно правильна. [19]
В новом изложении он проводит кривую, являющуюся решением задачи о струне и составленную из m синусоид, через определенное число точек. Существенно, что точки эти теперь уже не лежат на самой заданной кривой, но расположены вблизи нее. Он замечает, что когда m очень велико, отклонения женератриссы от начальной формы струны очень малы, и тогда можно ату начальную фигуру рассматривать как кусок женератриссы. Он ставит вопрос: не предполагает ли это уже, что начальная фигура струны составлена из синусоид. И отвечает: если дело идет о геометрическом тождестве, такое предположение неизбежно; но во всех остальных случаях начальная кривая является как бы родом асимптоты, к к-рой женератрисса неограниченно приближается, никогда однако не делаясь тождественной с ней. А из коэффициентов своей интерполяционной формулы Лагранж тут же выводит заключение, что пренебрегать отклонением женератриссы можно лишь тогда, когда начальная фигура имеет непрерывные производные всех порядков; это свойство должно сохраняться во все время движения струны. Только в этих условиях движение струны возможно. Но Лагранж не показывает читателю, что это утверждение есть полный отказ от защиты точки зрения Эйлера ( что было его первоначальной целью) и составляет возврат к Д Аламберу. [20]