Cтраница 2
Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом. Кйсательной плоскостью к сфере ( шару) называется плоскость имеющая со сферой единственную общую точку. Эту точку называют точкой касания сферы и плоскости. Для того чтобы плоскость была касательной к сфере, необходимо и достаточно, чтобы эта плоскость была перпендикулярна к радиусу сферы и проходила через его конец. [16]
Для этого предположим, что вращается не шайба, а блок цилиндров в противоположном направлении. Теперь нетрудно найти искомые проекции точки касания сферы и шайбы. [17]
Те -, перь из точки О опустим перпендикуляр ON на прямую DM. Поскольку ребро ВС перпендикулярно к плоскости ODM, то, tf частности, ВС L ON. Обозначим точки касания сферы с ребрами л АВ и Л С через К и L, длину отрезка АС через х, радиус сферы через R; тогда ОК. [18]
В остальных случаях доказательства аналогичные. Обозначим через Е ортогональную проекцию точки D на плоскость ЛВС. Следовательно, точка Е лежит на прямой СМ. Плоскость CMD проходит через перпендикуляр DE к плоскости ЛВС, значит, плоскость CMD перпендикулярна плоскости ЛВС. Так как радиус сферы, проведенный в точку F касания сферы с плоскостью ЛВС, также перпендикулярен плоскости ЛВС, то этот радиус параллелен плоскости CMD. Но центр сферы лежит в плоскости CMD, поэтому весь радиус OF, а, значит, и точка F касания с плоскостью ЛВС, лежит в плоскости CMD. Отсюда следует, что точка касания лежит на прямой СМ. [19]
В остальных случаях доказательства аналогичные. Обозначим через Е ортогональную проекцию точки D на плоскость ABC. СМ: Следовательно, точка Е лежит на прямой СМ. Плоскость CMD проходит через перпендикуляр DE к плоскости ABC, значит, плоскость CMD перпендикулярна плоскости ABC. Так как радиус сферы, проведенный в точку F касания сферы с плоскостью ABC, также перпендикулярен плоскости ABC, то этот радиус параллелен плоскости CMD. Но центр сферы лежит в плоскости CMD, поэтому весь радиус OF, а значит и точка F касания с плоскостью ABC, лежит в плоскости CMD, Отсюда следует, что точка касания лежит на прямой СМ. [20]