Cтраница 1
Точки изотропного раздела в прошлом определяются аналогично. Множество непростран-ственноподобного раздела в будущем определим посредством формулы С ( р) С. Множество непространственнопо-добного раздела в прошлом определяется подобным же образом. [1]
Определение точки изотропного раздела было дано Бимом и Эрлихом ( 1979а, разд. [2]
Следствие 9.73. Точка изотропного раздела геодезической Р: [ 0, а) - М появляется одновременно с первой изотропно сопряженной точкой или раньше. [3]
Заметим, также что если точка изотропного раздела для Р ( а) вдоль Р в будущем появляется позже Р ( Ь), то допустимых собственных вариаций геодезической Р не существует ( см. следствие 3.14 и разд. [4]
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать конформную инвариантность точек изотропного раздела относительно глобально конформных диффеоморфизмов /: ( Ml. Напротив, если М2 ориентировано во времени полем - Х2, то / отображает точки изотропного раздела в будущем ( соответственно в прошлом) в точки изотропного раздела в прошлом ( соответственно в будущем) вследствие того, что при отображении / кривые, направленные в будущее, переходят в кривые, направленные в прошлое. [5]
Несмотря на то что изотропные геодезические имеют нулевую длину дуги, точки изотропного раздела можно определить при помощи ло-ренцевой функции расстояния. Пусть у: [ 0, а) - М, у ( 0) р, - направленная в будущее непродолжаемая в будущее изотропная геодезическая. Если 0 / о а, то у ( / 0) называется точкой изотропного раздела в будущем для у ( 0) вдоль у. Для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий аналог теоремы Пуанкаре для полных римановых многообразий выполняется как для точек изотропного раздела, так и для точек времениподобного раздела. [6]
Тем самым статическая вселенная Эйнштейна есть R X S3 с метрикой лоренцева произведения. Геодезические и точки изотропного раздела в этом пространстве-времени легко определяются. Из предложения 8.19 вытекает тогда следующее утверждение. [7]
Но тогда с содержала бы точку изотропного раздела вдоль с в будущем, что противоречит условию. [8]
Наиболее значительным является то, что точки изотропного раздела инвариантны относительно конформных преобразований. [9]
W JPU которое в силу условия (9.46) удовлетворяет неравенству / ( W, W) 0 и, следовательно, доказывает оставшуюся половину теоремы 9.69. Для полноты изложения мы приведем также доказательство предложения 4.5.12 из книги Хокинга и Эллиса. Отметим, что этот результат состоит в следующем: точка изотропного раздела геодезической р появляется одновременно с первой изотропно сопряженной точкой р или раньше. [10]
Ввиду существенных различий между изотропными и времени-подобными точками раздела предпочтительно изучать эти случаи по отдельности. Одно из таких отличий состоит в том, что в противоположность точкам изотропного раздела точки времениподоб-ного раздела неинвариантны при глобальных конформных преобразованиях лоренцевой метрики. [11]
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать конформную инвариантность точек изотропного раздела относительно глобально конформных диффеоморфизмов /: ( Ml. Напротив, если М2 ориентировано во времени полем - Х2, то / отображает точки изотропного раздела в будущем ( соответственно в прошлом) в точки изотропного раздела в прошлом ( соответственно в будущем) вследствие того, что при отображении / кривые, направленные в будущее, переходят в кривые, направленные в прошлое. [12]
Если ( М, g) глобально конформно диффгоморфно открытому подмножеству пространства-времени ( М, g), не имеющему точек изотропного раздела, то все изотропные геодезические ( М, g) неполны. [13]
Лемма 8.13. Пусть ( М, g) - сильно причинное пространство-время. Если существует два изотропных геодезических сегмента, соединяющих р с q, то на каждом из них точка q либо совпадает с точкой изотропного раздела для точки р, либо расположена за ней. [14]
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать конформную инвариантность точек изотропного раздела относительно глобально конформных диффеоморфизмов /: ( Ml. Напротив, если М2 ориентировано во времени полем - Х2, то / отображает точки изотропного раздела в будущем ( соответственно в прошлом) в точки изотропного раздела в прошлом ( соответственно в будущем) вследствие того, что при отображении / кривые, направленные в будущее, переходят в кривые, направленные в прошлое. [15]