Cтраница 2
Наводящие соображения, в известной степени обосновывающие такой подход, состоят, во-первых, в том, что большое число физически интересных пространственно-временных многообразий можно конформно вложить в часть статической вселенной Эйнштейна ( см. пример 4.11), свободной от изотропных точек раздела, а во-вторых, в том, что точки изотропного раздела инвариантны относительно конформных преобразований метрики. [16]
Предположим, что в условиях предложения 9.42 сделано следующее допущение: точки р и q не сопряжены лишь временипо-добно. Если найдется бесконечно много времениподобных геодезических сп ] в пространстве С ( р ч), то мы получим тогда, что L ( cn) - v 0 при п - оо, и предельная кривая с в доказательстве предложения 9.42 является изотропной геодезической, так что q сопряжена р вдоль с. В частности, с содержит точку изотропного раздела в будущем для р ( см. разд. [17]
Несмотря на то что изотропные геодезические имеют нулевую длину дуги, точки изотропного раздела можно определить при помощи ло-ренцевой функции расстояния. Пусть у: [ 0, а) - М, у ( 0) р, - направленная в будущее непродолжаемая в будущее изотропная геодезическая. Если 0 / о а, то у ( / 0) называется точкой изотропного раздела в будущем для у ( 0) вдоль у. Для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий аналог теоремы Пуанкаре для полных римановых многообразий выполняется как для точек изотропного раздела, так и для точек времениподобного раздела. [18]
Риччи неотрицательна на всех изотропных векторах, то каждая полная изотропная геодезическая, удовлетворяющая типовому условию, имеет сопряженные точки ( см, предложение 11 17), Так как максимальные геодезические не содержат сопряженных точек, то для доказательства неполноты всех изотропных геодезических пространства-времени ( / И, g) необходимо убедиться только в том, что каждая из них максимальна. Предположим, что направленная в будущее изотропная геодезическая у из р в q не максимальна. Это означает, что ( М, g) имеет точку изотропного раздела, что и приводит к противоречию. [19]
Несмотря на то что изотропные геодезические имеют нулевую длину дуги, точки изотропного раздела можно определить при помощи ло-ренцевой функции расстояния. Пусть у: [ 0, а) - М, у ( 0) р, - направленная в будущее непродолжаемая в будущее изотропная геодезическая. Если 0 / о а, то у ( / 0) называется точкой изотропного раздела в будущем для у ( 0) вдоль у. Для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий аналог теоремы Пуанкаре для полных римановых многообразий выполняется как для точек изотропного раздела, так и для точек времениподобного раздела. [20]
Пусть у: [ 0, а) - М есть заданная непространственноподоб-ная геодезическая. Можно несколько смягчить формулировку и поставить вопрос: выполняется ли неравенство L ( у) L ( а) в классе всех непространственноподобных кривых а, проходящих из у ( 0) в у ( 0) достаточно близко к у. Если это так, то у ( / 0) либо совпадает с первой точкой, сопряженной у ( 0) вдоль t в будущем, либо располагается перед ней. Главное различие здесь заключается между условием среди всех из М для точек раздела и условием близко к у для сопряженных точек. Важность такого различия иллюстрируется тем фактом, что, хотя ни одно двумерное пространство-время не имеет изотропных сопряженных точек, все изотропные геодезические статической вселенной Эйнштейна обладают точками изотропного раздела и в прошлом, и в будущем. [21]