Cтраница 2
Теорема 2.12. Если краевые условия регулярны и единица является регулярной точкой операторов R ( см. теорему 2.6), то задача (2.50) - (2.57) равномерно корректна. Если функция f ( t) удовлетворяет условию Гель-дера, то обобщенные решения являются ослабленными. [16]
Лемма 8.1. Пусть компонента связности G множества точек регулярного типа оператора А содержит регулярную точку оператора А. [17]
Если же оператор ( В - Я /) 1 существует, то Я есть регулярная точка оператора В. [18]
Обратное утверждение неверно, т.е. если все точки открытого интервала ( а, 6) суть регулярные точки оператора Я, то вовсе не обязательно, чтобы интервал ( а, 6) был люком оператора Я. [19]
Покажем, что все действительные числа А, отличные от найденных собственных значений А, , являются регулярными точками оператора А. [20]
Точка АСС называется регулярной точкой оператора, если оператор ( KI-А) - 1 существует и является ограниченным оператором, определенным на всем X. Множество регулярных точек обозначается р ( А) и называется резольвентным множеством оператора А. [21]
К - 0 является регулярной точкой оператора А. [22]
Напомним, что число X называется регулярной точкой оператора А, если оператор - Rx ( А - X /) - 1 существует, определен во всем Н и ограничен. В этом случае оператор R называется резольвентой оператора А. Все нерегулярные точки оператора А называются его спектром. Очевидно, что собственные значения X оператора А принадлежат его спектру, ибо в этом случае оператор ( А - X /) - 1 не существует. Совокупность всех собственных значений оператора А называется его дискретным спектром. Все остальные точки спектра, если они существуют, называются точками непрерывного спектра, а их совокупность - непрерывным спектром оператора. Таким образом, дискретный спектр самосопряженного оператора ( в сепарабельном пространстве Гильберта) есть конечное или счетное множество вещественных чисел. [23]
Для того чтобы каждая точка открытого интервала ( а, 6) была регулярной точкой оператора Н, необходимо ( достаточно), чтобы спектр любого ( хотя бы одного) самосопряженного расширения Н оператора Н внутри ( а, 6) состоял из изолированного множества собственных чисел. [24]
Пусть оператор А имеет собственное значение 1; через Е обозначается соответствующее собственное подпространство. Предположим, чт ( собственному значению 1 оператора А не отвечают присоединенны векторы, т.е. пространство L представимо в виде прямой суммы дву инвариантных для оператора А подпространств Е и Е, приче Е e ( t): Ae ( t) e ( t), а на подпространстве Е число 1 являете регулярной точкой оператора А. Тогда сопряженный к А оператор А, действующий пространстве ( L), также имеет собственное значение 1, которому г отвечают присоединенные векторы. [25]
Наиболее простое построение таких функций может быть проведено по следующей схеме: пусть функция / ( Я) является аналитической по Я, в плоскости с конечным числом разрезов. Предположим, что все точки разрезов являются регулярными точками оператора А. Тогда резольвента R ( X) оператора А определена и апалитична в некоторой окрестности разрезов. [26]
Одной из важнейших функций от оператора является его резольвента. Если при заданном комплексном А существует ограниченный обратный оператор ( А - Я. Регулярные точки оператора А образуют открытое множество комплексной плоскости, его замкнутое дополнение называется спектром оператора А. Спектр линейного ограниченного оператора всегда не пуст. [27]