Cтраница 3
Обе эти дуги ( за исключением точек Ъ и 62) лежат внутри - у, так как единственной точкой, соответствующей в 5 точке А, является точка а, лежащая внутри - у, и никакая из этих дуг не может пересекать с. Я утверждаю, что другой общей точки, кроме а, эти дуги иметь не могут. Тогда частичные дуги Ьф и Ьг образуют с каждой из дуг bib2 кривой с жорданову область, лежащую в - у. Но I ( d) замкнута и компактна и вся ее граница лежит на 2 и на С. Следовательно, I ( d) совпадает с Г и в d имеется прообраз точки А. [31]
Окружности не могут иметь другой общей точки вне линии центров, потому что в противном случае они имели бы еще третью общую точку по другую сторону от линии центров и, следовательно, должны были бы слиться. Они не могут иметь другой общей точки и на линии центров, так как, имея на этой линии две общие точки, они должны были бы иметь и общую хорду, соединяющую эти точки. Но хорда, проходящая через центры, должна быть диаметром; если же окружности имеют общий диаметр, то они сливаются в одну окружность. [32]
В пересечении находим две точки А и В. Из построения видно, что других общих точек графики не имеют. [33]
С каждым из оставшихся трех треугольников первого ранга проделывается аналогичная операция, в результате к-рой получается девять треугольников второго ранга. С и к-рые не имеют никаких других общих точек, кроме точек, соответствующих вершинам основного треугольника континуума С. [34]
В пересечении находим две точки А и В. Из построения видно, что других общих точек графики не имеют. [35]
Эти соотношения между теоремами о системе функций Радемахера и проблемой игры в герб и решетку могут служить примером того, как теория ортогональных функций используется в теории вероятностей и обратно. Между этими двумя теориями имеется много других общих точек соприкосновения, и впоследствии мы еще будем возращаться к этой теме. [36]
При вращении около прямой ОО точка А описывает окружность, принадлежащую обоим шарам. В силу пункта 475, данные шары не могут иметь других общих точек, кроме точек, лежащих на этой окружности. [37]
Кроме того, ясно, что точка С окружности Ki должна перейти в некоторую точку Сь лежащую на продолжении отрезка А - В. Так как, кроме точки Ait профиль, очевидно, не будет иметь других общих точек с дугой AvBi, то в окрестности точки Ct он должен иметь плавное закругление. Указанное хорошо подтверждается расчетом. [38]
Если через каждое из 12 ребер куба провести плоскость, не имеющую с поверхностью куба других общих точек, кроме точек того ребра, через которое она проведена, то полученные 12 плоскостей образуют грани некоторого 12-гранника. Более подробное изучение формы этого многогранника показывает, что можно так подобрать наклон этих плоскостей к граням куба, что полученный 12-гранник будет додекаэдром. [39]
Линией центров называется прямая, проходящая через центры двух окружностей. Если две окружности имеют общую точку, расположенную вне линии центров, то они имеют еще и другую общую точку, симметричную с первой относительно линии центров. [40]
Точки границы области, которые можно соединить дугой Жордана с внутренней точкой области ( эта дуга не должна иметь с границей области других общих точек, кроме данной граничной точки), называются достижимыми ( изнутри) точками; точки, не обладающие этим свойством, - недостижимыми. В нашем примере точки отрезка AD - недостижимые, а все остальные граничные точки - достижимые. [41]
Пересечением множеств сп является континуум с, так как он должен содержать р и рз, которые, по предположению, различны. Но 1 ( с) может быть лишь точкой Р, так как 1 ( сп) не имеют, кроме Я, других общих точек. Это противоречит условию II внутренних отображений, и, значит, лемма полностью доказана. [42]
Янишевский специализировал свое определение, введя точки, которые он назвал простыми. Он называет точкуа простой точкой порядка континуума С, если существует п ( и не более) простых дуг, оканчивающихся в точке а и не имеющих попарно никаких других общих точек. [43]
Пусть Ь1 и Ь2 - две точки bt, a Oj и о2 - две простые дуги, исходящие соответственно из Ь и Ь2, которые отображаются топологически на указанную выше дугу S. За исключением точек Ь и Ь2, эти две дуги лежат внутри f, так как а - единственная точка из 8, принадлежащая прообразу точки А, а лежит внутри 8, а дуги ai и с2 не могут пересекать с. Докажем, что эти дуги не имеют других общих точек, кроме а. Действительно, пусть J3 - их первая точка пересечения при движении вдоль о1 и о2, начиная от Ь, соответственно Ь2, по направлению к а. Таким образом, в d должна существовать точка, являющаяся прообразом А. [44]
Пусть тогда о2 - дуга, аналогичная в ], исходящая из 2, и пусть bz - ее конец. Действительно, QI-простые дуги, а две последовательные дуги ii не могут иметь в окрестности их общего конца других общих точек. [45]