Особая точка - дифференциальное уравнение
Cтраница 2
Если назвать решение дифференциальных уравнений, представленное в некоторой конечной области системой конечных функций, непрерывным, а в случае, если ни одна из этих функций-интегралов не проходит в рассматриваемой области ни через какую особую или quasi - особую точку соответственных дифференциальных уравнений, - совершенно непрерывным ( в данной области) решением, то легко видеть, что уравнения вида ( I) допускают во всякой конечной области изменения t только совершенно непрерывные ( с. [16]
Поле направлений на поверхности уравнения имеет в соответствующей точке криминанты такую же особенность, как поле направлений векторного поля на плоскости в окрестности обыкновенной особой точки типа седло, фокус или узел. Поэтому возникающие здесь особые точки неявных дифференциальных уравнений называются сложенным седлом, фокусом или узлом: они получаются из обычных при помощи отображения складывания. [17]
Интегральные кривые уравнения ( 1) в каждой точке М ( х у) касаются поля направлений в этой точке. Особые точки поля направлений ( 1) называются особыми точками дифференциального уравнения. [18]
Развивая идеи, заложенные в работе И. Г. Петровского и Е. М. Ландиса [53], Арнольд [ 6 предпринял топологическое исследование особых точек дифференциальных уравнений в комплексной области. Продолжая эти исследования, Ладис [ 47 и Кайпер с соавторами [71] обнаружили, что два линейных векторных поля тииа Зигеля 12 в С, находящиеся в общем положении друг относительно друга, орбитально топологически неэквивалентны. Этот результат не имеет аналогов в вещественном случае. Напротив, вещественные и комплексные линейные системы типа Пуанкаре ведут себя сходным образом. [19]
В качестве предельного случая в это семейство входит и ось ординат. Особая точка дифференциального уравнения с таким расположением интегральных кривых называется узлом. [20]
 |
График затухающих колебаний точки и ее фазовый портрет. [21] |
Нетрудно показать, что через каждую точку фазовой плоскости, в которой одновременно не обращаются в нуль скорость и ускорение, проходит только одна интегральная кривая, а следовательно, одна фазовая траектория. Наоборот, в точках фазовой плоскости, в которых обращается одновременно в нуль скорость и ускорение x - OnxQ, пересекаются несколько фазовых траекторий. Такие точки называются особыми точками дифференциального уравнения интегральных кривых. [22]
Сходящиеся ударные волны подробно изучены теоретически и во многих случаях обнаружена неограниченная кумуляция. Интенсивность волны оказалась неограниченно растущей, откуда видно, что взрывчатые свойства материала перестают играть роль ( концентрация энергии к волне сильно превосходит калорийность взрывчатки) и, следовательно, решение описывает сходящиеся волны не только детонационные, но и ударные. Эти работы положили начало изучению нового класса движений, для которых показатели степени в решениях вытекают не из размерностей определяющих величин, как, например, в широко известном решении Л. И. Седова ( 1944), а из условий прохождения особых точек дифференциальных уравнений задачи. Гудерлеем ( Luftfahrt-Forschung, 1942 19: 9, 302 - 312), работа которого стала известна у нас лишь через несколько лет после войны. [23]
Кроме регулярных особых точек, в отдельных точках гладкой дискриминантной кривой уравнения общего положения встречаются точки касания контактной плоскости с поверхностью уравнения. Нормальная форма уравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности его особой точки. О классификации особых точек дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. [24]
Действительно, если бы две линии тока пересекались в одной точке, где скорость конечна, то это означало бы, что частица, находящаяся в этой точке в один и тот же момент времени, имеет две разные скорости, что физически невозможно. Если же в данной точке 0 или it oo, то через нее может проходить несколько или даже бесконечное множество линий тока. Такие точки называются критическими. Они являются особыми точками дифференциальных уравнений линий тока. [25]
На поддерживающей дуге установим определенное направление движения, например, от А к В. Тогда в каждой точке поддерживающей дуги существует вектор касательной. Так как эта дуга не проходит через особые точки дифференциального уравнения, то в каждой ее точке получается определенный, с точностью до целократного 2я, угол между векторами - вектором, касательным к траектории, проходящей через эту точку, и вектором, касательным к поддерживающей дуге. [26]
Страницы: 1 2