Cтраница 1
Точность последовательности ( 4) для почти всех р следует из стандартных соображений. [1]
Точность последовательности ( 2) в членах Кег ф2 и Coker ф2 выводится из точности и коммутативности диаграммы ( 1) путем обычного диаграммного поиска. [2]
Из точности последовательности ( 3) заключаем, что ty - эпиморфизм. [3]
Так как доказательство точности последовательности ( 16) опиралось только на аксиому MB ( или, точнее, на равносильную аксиому А) и так как аксиомы MB для категорий CW и CW идентичны, то для любого функтора F: CW p - GROUPS, удовлетворяющего аксиоме MB ( и, в частности, для любого полуточного функтора F) последовательность ( 39) точна в члене FX. Но каждый трехчленный отрезок последовательности ( 37) является начальным отрезком аналогичной последовательности, построенной для соответствующего вложения. [4]
Построение и доказательство точности последовательностей Майера - Вьеториса ( см. § 3.5) для экстраординарных теорий когомологий проходят без изменений. [5]
Заметим, что в силу точности гомотопической последовательности пары ( X, А) условие пп ( X, A) Q, п О, равносильно требованию, чтобы отображение вложения i: A - - X было оо-эквивалентностью. [6]
Из предложения 4.4 и следствия 5.8 вытекает точность последовательностей А - - А. [7]
Утверждение ( i) сразу следует из точности гомотопической последовательности расслоения ( ср. [8]
Это тоже следует из предложения 1.1, поскольку индуктивный предел сохраняет точность последовательностей. [9]
В частности, если X есть конус СА над Л, то h ( X) Q ( аксиома гомотопии), а Х / А есть надстройка SA над А, и точность последовательности () влечет и з о м о р ф и з-м ы надстройки ОА: h ( A) - hi 1 ( SA), естественные по А. [10]
Но так как пара ( JX, J2X) клеточно ( Зп - 1) - связна ( напомним, что пространство X мы предполагаем клеточно ( п - 1) - связным) и, следовательно, ( Зп - 1) - связна, то ( в силу точности гомотопической последовательности тройки ( / X, У2Х, X)) вложение ( У2Х, X) - ( / X, X) ( Зга - 1) - связно. Аналогично, так как пространство ХдХ клеточно ( 2 / г1 - 1) - связно и, значит, пара ( / ( ХдХ), Х / Х) клеточно п - 1) - связна, то вложение ХдХ - J ( X / X) ( 4 - 1) - связно. Наконец, так как пара ( У2Х, X) клеточно ( 2п - 1) - связна, то, согласно предложению 2, отображение факторизации ф ( Зп - 1) - связно. [11]
Точность последовательности Смита 0 Ят ( А, Л) - Я ( А, Л) - Я5 ( А, Л) - 0 показывает, что / - изоморфизм. [12]
Предположим, что Tor - Af, C) 0 для некоторого фиксированного модуля М и всех конечно определенных циклических модулей С. Из точности последовательности ( 18) с помощью индукции ( по числу порождающих) следует, что Тог ( Л4, Л) 0 для любого конечно определенного модуля А. Так как функтор Тог коммутирует с прямыми пределами ( по существу из-за того, что этим свойством обладает), и так как любой модуль можно представить в виде прямого предела конечно определенных модулей, то из предыдущего получаем, что Тог. [13]
Обозначим через Аг часть множества А, лежащую над В, а через Л2 - часть множества А, лежащую над остальными дугами. Из точности последовательности Майера - Вьето-риса следует теперь, что И - 1 ( A; Z) / / ( А2; Z) и аналогично, что эта группа разлагается в прямую сумму подгрупп, являющихся гомологическими группами соответствующих дут. Q / - изолированная точка в Е, легко доказать, что любая орбита Qt ориентируема. [14]
Xl определяется как слой отображения ki, a / строится из соображений естественности. Из точности гомотопической последовательности расслоения следует, что отображение 1 локализует гомотопии. [15]