Изолированная замкнутая траектория

Cтраница 2

При этом вводится понятие предельной точки и предельного множества полутраектории, играющей первостепенную роль не только при решении попроса о поведении отдельной траектории, но также и при рассмотрении характера разбиения в целом, которое проводится в гланах VII, VIII, Хи XI. В заключение в § 4 приводится два классических предложения, касающихся некоторых основных свойств разбиения на траектории в целом, а гаюке рассматривается изолированная замкнутая траектория - предельный, цикл и устанавливается возможный характер разбиения на траектории окрестности предельного цикла. [16]

Нетрудно заметить, что притягивающие особые точки, такие как устойчивый узел и устойчивый фокус, являются аттракторами. Но аттракторами в диссипативных системах могут Оыть не только устойчивые стационарные точки, но и замкнутые фазовые кривые, соответствующие периодическому движению. Такие изолированные замкнутые траектории называются предельными циклами. Устойчивые предельные циклы являются аттракторами. [17]

Мы уже знаем, что в случае особой точки типа центра некоторая область фазовой плоскости сплошь заполнена замкнутыми траекториями. Последний случай непосредственно связан с решением вопроса о существовании изолированных периодических решений. При этом интересно, что изолированные замкнутые траектории могут иметь только нелинейные дифференциальные уравнения и системы. [18]

Фазовый портрет нелинейной системы. [19]

Как следует из рассмотренного примера, при наличии нескольких точек равновесия возможны различные типы фазовых траекторий. Особые кривые ( жирные кривые на рис. 2.7), разделяющие фазовую плоскость на области с разными типами фазовых траекторий, называются сепаратрисами. Фазовые портреты нелинейных систем могут содержать другой тип особой кривой - изолированные замкнутые траектории. Эти кривые называются предельными циклами. Если изнутри и снаружи фазовые траектории сходятся к предельному циклу ( рис. 2.8, а), то такой предельный цикл называется устойчивым предельным циклом. [20]

Конечно, модель Лотки-Вольтерры является идеализацией, такой же, как, например, математический маятник без затухания. Однако от этого ее значение не уменьшается. С термодинамической точки зрения модель Лотки-Вольтерры интересна тем, что описываемый ею процесс занимает промежуточное значение между устойчивым стационарным состоянием с минимальным производством энтропии и периодическим процессом с предельным циклом. Предельным циклом называется изолированная замкнутая траектория ( 7, обладающая тем свойством, что все другие траектории в ее окрестности являются спиралями, закручивающимися в направлении С. [21]

Периодические движения, при которых через каждый период времени Т исходное состояние системы повторяется, представляются замкнутыми фазовыми траекториями. В консервативных системах кривые, соседние с периодической кривой, обычно также периодические. Однако в неконсервативных системах замкнутые траектории имеют принципиально другое значение. Здесь существуют только изолированные замкнутые траектории, представляющие собой особые траектории, называемые предельным циклом. [22]

Страницы: 1 2