Хаотическая траектория
Cтраница 2
Если эйлерова характеристика х ( М) 0, то существует бесконечное число гомоклинических траекторий к положению равновесия ZQ. Существуют также хаотические траектории на Eg, и топологическая энтропия системы на EQ положительна. [16]
В случае ( SF) Деваней [17] доказал, что если существует трансвер-сальная гомоклиническая траектория, то система имеет хаотические траектории на нулевом уровне энергии EQ. Оказывается, что хаотические траектории существуют без предположения трансверсальности. Это было доказано Буффони и Сере [12] для аналитических гамильтоновых систем на торе. [17]
Это означает, что при t - оо объем аттрактора в трехмерном пространстве стремится к нулю. С другой стороны, хаотические траектории не могут существовать на двумерной поверхности. Представление о разбегании траекторий и стремлении к нулю фазового объема кажется, на первый взгляд, парадоксальным - с увеличением относительного расстояния между траекториями поток остается в ограниченной области пространства, хотя его объем равен нулю. Оказалось, что странный аттрактор представляет собой множество точек, не являющееся подмногообразием фазового пространства. Аттрактор является фракталом - объектом дробной размерности. [18]
Этот минимум соответствует периодической траектории энергии / г, близкой к цепочке 7V гомоклинических траекторий. В пределе 7V - ос получаются хаотические траектории, соответствующие заданной траектории jk kez топологической цепи Маркова. [19]
 |
Точка равновесия и предельный цикл. [20] |
Возможность проявления детерминированного хаоса в динамических автономных системах вида (1.6) существенно зависит от их размерности. Можно показать, что в двумерном пространстве хаотические траектории невозможны, поскольку в нем могут существовать только такие аттракторы, как точки равновесия, бесконечность и предельные циклы. Напомним, что инвариантными называются множества точек в фазовом пространстве, по которым, раз попав на них, все остальное время движется изображающая точка. [21]
Возможность проявления детерминированного хаоса в динамических автономных системах вида (1.6) существенно зависит от их размерности. Можно показать, что в двумерном пространстве хаотические траектории невозможны, поскольку в нем могут существовать только такие аттракторы, как точки равновесия, бесконечность и предельные циклы. [22]
Однако теперь система имеет только одну степень свободы ( Hq не зависит от времени) и поэтому формально является интегрируемой. В частности, система (7.7) не содержит хаотических траекторий. Гамильтониан Hq (7.5) имеет ряд примечательных свойств. [23]
Многие учебники дают неверное представление, утверждая, что в классической механике системы большей частью интегрируемы. Как отмечалось выше, уже Пуанкаре ( 1892) знал, что, например, неинтегрир мая задача трех тел в классической механике может привести к полностью хаотическим траекториям. [24]
Рассматриваются задачи управления возбуждением и синхронизацией колебаний. Приводятся условия достижения асимптотических целей управления в задаче стабилизации заданных значений инвариантов свободного движения алгоритмами скоростного градиента с энергетическими целевыми функциями, а также в задаче адаптивной стабилизации заданной периодической или хаотической траектории алгоритмами на основе целевых неравенств и линеаризации отображения Пуанкаре. Представлены оценки точности достижения целей в условиях помех, при неполных измерениях и в системах с децентрализацией управления. Найдены условия достижения цели при сколь угодно малой величине управления. [25]
Таким образом, в седловом случае, для существования хаотических траекторий требуются дополнительные условия. В этой работе показано, что если существуют 3 трансверсальные гомоклини-ческие траектории к седловому положению равновесия с различными характеристическими показателями, и если они не принадлежат сильно устойчивому Wss С Ws или сильно неустойчивому Wuu С Wu многообразиям, соответствующим большим по модулю собственным числам ЬА2, то гамильтонова система имеет хаотические траектории. Следующая теорема является вариационным аналогом этого результата. Вместо предположения о существовании нескольких трансвер-сальных гомоклинических траекторий будет сделано предположение геометрического характера. [26]
Однако после работ Пуанкаре стало ясно, что динамические системы общего вида (25.11) не имеют кроме гамильтониана никаких других интегралов. В таких системах траектории не лежат на многообразиях меньшего чем s - 1 числа измерений. Возникают хаотические траектории, занимающие конечный объем фазового пространства, а их распределение среди регулярных траекторий оказывается всюду плотным. [27]
В общем случае значения UQ отличаются для разных периодических орбит: насколько близки частоты UQ - зависит от свойств времен возврата. Если частоты UQ не очень различаются, то языки Арнольда перекрываются ( рис. 10.11), и можно найти область параметров, где движение вдоль всех периодических орбит захвачено внешней силой. Если сила остается не очень большой, то эта область есть пересечение самого левого и самого правого языков Арнольда, которые соответствуют периодическим орбитам автономной системы с наименьшим и наибольшим значением UQ, соответственно. Внутри этой области хаотические траектории вновь и вновь попадают в окрестности разных торов; двигаясь вдоль поверхности тора, они приближаются к устойчивому по фазе решению и остаются там на некоторое время, пока трансверсальная ( амплитудная) неустойчивость не отталкивает их к другому тору. Так как все периодические движения захвачены, фаза остается локализованной в некоторой области: наблюдается синхронизация по фазе. Вне той области, где все языки перекрываются, синхронизация не может быть идеальной: в течение некоторого времени траектория следует вдоль захваченного цикла, а фаза следует за фазой внешней силы, но в другой момент времени траектория подходит близко к незахваченному циклу, и происходит проскок фазы. [28]
Было бы естественно предположить, что детерминированное движение ( описываемое, например, непрерывными дифференциальными уравнениями) достаточно регулярно и далеко от хаотичности, поскольку последовательные состояния непрерывно развиваются одно из другого. Пуанкаре ( Poincare, 1982) открыл, что в некоторых механических системах, эволюция которых во времени определяется уравнениями Гамильтона, может появляться хаотическое движение. К сожалению, это было воспринято многими физиками как курьез, и прошло около 70 лет, пока метеоролог Е. Н. Лоренц ( Lorenz, 1963) не обнаружил, что даже простая система из трех связанных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка может привести к совершенно хаотическим траекториям. [29]
Это порождает гамильтонов поток без других постоянных, но в предельных случаях Е J. О и Е оо возникает простая ситуация. V пренебрежимо мала, и угловой момент ( в классической механике - момент импульса) L служит новой постоянной движения. Между этими пределами система ведет себя хаотически, и при изменении энергии можно наблюдать разрушение инвариантных торов. При малых значениях энергии Е 1, 5 инвариантные торы кристаллизуются из хаоса с тем, чтобы при Е I 0 восстановилась картина, обычная для двумерного гармонического осциллятора. Графически перестройка инвариантных торов представлена на так называемых сечениях Пуанкаре. Периодическим траекториям в сечениях Пуанкаре соответствует изолированная точка, квазипериодическим траекториям - линия и хаотическим траекториям - целые полосы. На рис. 3.25 эта ситуация показана для некоторых типичных энергий. [30]
Страницы: 1 2