Cтраница 3
Далее, фь ( х) стремится к константе при ж - оо, поэтому р ь ( х) убывает при х - оо, так что (7.20) удовлетворяет требованию ограниченности на пространственной бесконечности, что и требовалось. [31]
Таким образом, если в условиях задачи дополнительно потребовать ограниченности искомой функции, то решение ее будет огределяться единственным образом. Требование ограниченности р в ударной задаче может быть обосновано чисто механическими соображениями. [32]
Постоянная С, не влияющая на напряжения, соответствует вращению твердого тела на бесконечности и может быть принята равной нулю. Требование ограниченности напряжений на бесконечности имеет своим следствием не только то, что перемещения тоже остаются конечными. [33]
Ниже рассматривается охлаждение однородного сплошного шара, внутри которого отсутствует внутренний источник ( сток) теплоты ( 7и 0), в среде с постоянными значениями температуры tf и коэффициента внешней теплоотдачи а. Естественным физическим условием является требование ограниченности искомого температурного профиля в центре шара. [34]
Причем ( 19) в зависимости от выбора знака определяет две функции. Однако только функция, соответствующая знаку минус, удовлетворяет требованию ограниченности. [35]
Решение этого уравнения должно удовлетворять граничному условию (IX.99) и быть ограниченным при z - оо. Но общее решение уравнения (IX.100) представляет собой комбинацию постоянной и экспоненциальной функции с положительным показателем exp ( vz / E a); последняя не удовлетворяет требованию ограниченности на бесконечности и потому не должна входить в решение. [36]
В формулах (1.4.11), (1.4.12) записана зависимость полей только от поперечных координат г, ф; в силу (1.4.7) и (1.4.10) зависимость волны номера п от продольной координаты z дается множителем exp ihz, который в (1.4.11), (1.4.12) опущен. Из формул (1.4.11) для области г а зависимость от радиальной координаты выбрана в виде бесселевой функции / n ( xtr); при этом в (1.4.8) положено В - 0, что обеспечивает выполнение требования ограниченности поля при г О, ибо Nn ( 0) оо. [37]
В теории дифракции электромагнитных волн большой интерес представляют исследования задач дифракции на телах, имеющих ребра или кромки. В теории краевых задач для уравнений в частных производных известно, что в областях, границы которых имеют ребра, кромки или угловые точки, для однозначной разрешимости краевых задач необходимо сформулировать условия, определяющие поведение решения в окрестности особой точки границы. Часто таким дополнительным условием может служить требование ограниченности решения краевой задачи в окрестности особой точки границы. [38]
Таким образом, в данном случае ограничение сложности приводит к импульсным переходным функциям, не содержащим вместе с требуемым числом своих производных б-функций. Очевидно, что реализация таких систем проще, чем систем, реакция которых содержит б-функции. Физически требование ( 10) эквивалентно требованию ограниченности дисперсии выходной величины системы с импульсной переходной функцией k ( t) и х ее производных, если на вход этой системы подается белый шум. Учет условий ( 10) эквивалентен минимизации полосы системы в обобщенном смысле. [39]
Мы убедились в § 26, что если на линию Ll поступает простейший поток вызовов, то поток, поступающий на линию Lr ( r) t уже не будет простейшим. Важнейшая основная теорема теории Пальма состоит в том, что при этом на любую линию Lr поступает поток типа Р, т.е. стационарный, ординарный и с ограниченным последействием. От простейшего такой поток отличается, следовательно, только тем, что требование отсутствия последействия заменяется более обахим требованием ограниченности последействия. [40]
Обычно наблюдаемым соответствуют координаты и импульсы частиц. Разумеется, при этом нет никаких оснований оказать предпочтение декартовой системе координат, например, в астрономии непосредственному измерению подлежат прежде всего углы. Поэтому в качестве наблюдаемых мы должны рассматривать произвольные функции координат ( и импульсов), удовлетворяющие только требованиям ограниченности и, кроме того ( из соображений удобства выполнения математических операций), дифференцируемости. Эти функции образуют ( абелеву) алгебру, а их эволюция во времени, определяемая уравнениями движения, соответствует автоморфизму алгебры, так как суммы преобразуются в суммы, а произведения - в произведения. В концептуальном плане полезно различать алгебру наблюдаемых от состояния, в котором находится определенный экземпляр системы. Состояние не имеет никакого отношения к законам природы, а лишь отражает наше знание реализованных начальных условий. [41]
Последнее из приводимых здесь понятий заимствовано из небесной механики. Но скорости неограниченны тогда и только тогда, когда два тела соударяются. Следовательно, устойчивость в этом смысле ( она называется устойчивостью по Лагранжу) означает лишь то, что координаты и скорости тел ограничены. Таким образом, требование ограниченности решений приводит к разумному и естественному типу устойчивости. [42]
В § 24 устанавливаются теоремы существования и единственности решений для нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна и - Bhu как в пространствах функций, так и в пространствах вектор-функций. Основное отличие этих теорем от теорем, содержащихся в монографии ВМ, заключается в следующем. В ВМ всюду предполагается потенциальность оператора Немыцкого h и самосопряженность линейного интегрального оператора В, причем эти требования существенно используются. Там многие теоремы используют и полную непрерывность оператора В. Здесь все теоремы свободны от требования полной непрерывности оператора В, причем в некоторых теоремах отсутствует даже требование ограниченности этого оператора. [43]