Cтраница 1
Конгруэнтные треугольники являются, конечно, частным случаем, однако совсем по другим причинам; это особые подмЬожестна множества треугольников. Треугольная пирамида есть частный случай пирамиды, но не то же, что тетраэдр; иначе правильная треугольная пирамида была бы правильным тетраэдром, что, разумеется, неверно. Пожалуй, треугольная пирамида есть пара, состоящая из тетраэдра и одной из его вершин. Впрочем, я думаю, что в традиционной геометрии не пускаются в такие тонкости, ее язык, освященный двухтысячелет-ними традициями, кажется просто незыблемым. [1]
Его профильной проекцией является конгруэнтный треугольник. [2]
Разбиваем многоугольник на элементарные треугольники и строим в стороне конгруэнтный треугольник ЛВС, к стороне Л С пристраиваем треугольник ACD, к стороне AD пристраиваем треугольник ADE, и наконец, к стороне АЕ пристраиваем треугольник АЕМ. В результате получим две конгруэнтные фигуры. [3]
CD, а это и значит, что все грани тетраэдра есть попарно конгруэнтные треугольники. [4]
Чтобы доказать утверждения I, II, III и IV, соединим центр окружности с вершинами многоугольника, проведем перпендикуляры от центра к сторонам и выберем конгруэнтные треугольники. [5]
В одной из своих работ, касающихся аксиом евклидовой плоскости, Н. Ф. Четверухин [2] показал, что система аксиом Молерупа ( в которой последний совершенно не пользуется конгруэнтностью углов) может быть получена из группы аксиом конгруэнтности ( Гильберта) при помощи подходяще выбранного определения конгруэнтности углов; если же конгруэнтными углами назвать соответственные - углы двух конгруэнтных треугольников, то, не нарушая системы Гильберта, можно в ней сделать некоторые сокращения. [6]
Понятие конгруэнтности достаточно наглядно: два треугольника конгруэнтны, если они одинаковой формы и одного размера. Однако дети часто находят трудными те рассуждения с конгруэнтными треугольниками, которые применяются для доказательства теорем. [7]
Правда, для этого окажется недостаточным ни параллельный сдвиг, совмещающий конгруэнтные треугольники, ни преобразование подобия, растягивающее или сжимающее геометрические фигуры, ни даже проектирование, переводящее окружность в эллипс. Наложить любые две буквы ( 1) друг на друга нам удастся лишь в том случае, если мы их непрерывно деформируем. [8]
На плоскости V и W основание пирамиды проецируется в отрезки прямых, расположенные на осях ОХ и OY, а боковые, грани - в разные по величине треугольники. Боковые грани, наклоненные к плоскостям V и W под одинаковыми углами, проецируются на них в конгруэнтные треугольники. [9]
Теперь ясно, что ответ на поставленный вопрос положителен: если многоугольники равновелики, то их равносоставленность может быть установлена при помощи движений, сохраняющих ориентацию. В самом деле, по теореме Бойяи - Гервина можно разбить два равновеликих многоугольника на соответственно конгруэнтные части, а потому - на соответственно конгруэнтные треугольники. Но два конгруэнтных треугольника либо получаются друг пз друга движением, сохраняющим ориентацию, либо же ( как на рис. 40) могут быть разбиты каждый на три части, получающиеся друг из друга движениями, сохраняющими ориентацию. [10]
Если ребенок знает, что такое ромб или параллелограмм, то он может визуально определить свойства этих фигур. Многие из этих свойств ученики перечислят в свободной беседе: в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, противоположные углы равны, а соседние углы дополняют друг друга до развернутого; диагонали, пересекаясь, делятся пополам; параллелограмм имеет центр симметрии, его можно разложить на конгруэнтные треугольники, равными параллелограммами можно замостить плоскость - вот целая куча визуальных свойств, которые могут быть упорядочены. Я уже разъяснял, как здесь начинается дедуктивное построение; эти свойства не вводятся, а развертываются из локальных начал. Свойства параллелограмма должны быть дедуктивно связаны друг с другом; некоторые должны считаться исходными, из которых выводятся остальные. Так появляются определения; и тогда можно понять, почему квадрат является в то же время и ромбом, а ромб - параллелограммом. Так ребенок учится определениям и узнает, что определение - нечто большее, чем просто описание, что это - средство дедуктивного упорядочения свойств некоторой вещи. [11]
Существуют еще два способа покрытия плоскости правильными многоугольниками. В одном из них используются правильные конгруэнтные треугольники, причем в каждой вершине сходятся по шесть треугольников, а в другом используются конгруэнтные квадраты, причем в каждой вершине сходятся по четыре квадрата. Из этих трех способов покрытия плоскости покрытие с помощью шестиугольников является наилучшим для упаковки вписанных единичных кругов внутри таких многоугольников. Мы вычислим эффективность такой упаковки, которую обозначим через Е, а также эффективность упаковки единичных кругов в квадраты, которую обозначим через Es, а эффективность упаковки третьего типа оставим в виде упражнения. Рассмотрим задачу упаковки равных кругов радиуса г 1 / 2 на плоскости таким образом, что каждый круг касается шести других кругов, как показано на фиг. Каждый такой круг можно рассматривать как круг, вписанный в правильный шестиугольник с тем же центром; эти шестиугольники заполняют плоскость. [12]
Не думайте, что геометрия на поверхности шара целиком и полностью отличается от евклидовой. Большинство евклидовых теорем, которые не зависят от идеи параллельных прямых, остаются верными для сферической геометрии. Для нее сохраняются, например, и теория конгруэнтных треугольников, и свойство равенства углов при основании равнобедрещого. [13]
Следовательно, А АВС Ш А ОаОьО и, конечно, конгруэнтные треугольники имеют одинаковые радиусы описанных вокруг них окружностей. Так как отрезок АР перпендикулярен отрезку OjOc, который параллелен отрезку ВС, то высотами треугольника АВС являются прямые АР, ВР и СР. Поэтому точка Р совпадает с точкой Н ( [ И ], стр. [14]
Ни одна из перечисленных проблем не подходит для такого построения. Возможно, что допускается вычисление с помощью линейной алгебры пересечения сферы с плоскостью или двух сфер, однако для того, чтобы открыть, что эти пересечения являются окружностями, нужно знать, что такое реальная сфера в реальном пространстве. Разумеется, можно с помощью алгебраического доказательства убедиться, что радиус окружности равен длине стороны вписанного в нее правильного шестиугольника, однако такое доказательство может понравиться лишь тому, кто стремится затемнить все существенное. Линейная алгебра не только совершенно непригодна для того, чтобы открыть возможность замощения плоскости конгруэнтными треугольниками; с ее помощью это утверждение почти невозможно доказать. Можно было бы проиллюстрировать почти на всех разобранных выше примерах, насколько бессильны в них методы линейной алгебры. [15]