Cтраница 2
Основание пирамиды является многоугольником с п сторонами. В случае ( А) п боковых ребер пирамиды равны; в случае ( В) высоты ( проведенные из верхушки) ее п боковых граней равны. В обоих случаях получаем п конгруэнтных прямоугольных треугольника. Они имеют одну сторону ( высоту пирамиды) общую, а гипотенуза - боковое ребро в случае ( А) и боковая высота в случае ( В) - одной и той же длины в каждом. Следовательно, третьи стороны в конгруэнтных треугольниках должны быть равны. Поскольку они проведены из той же самой точки ( основания высоты) в той же плоскости ( в основании), они образуют п радиусов круга, который описан около или вписан в основание пирамиды, в случаях ( А) и ( В) соответственно. В случае ( В) остается показать, что п упомянутых радиусов перпендикулярны соответствующим сторонам основания, но это следует из хорошо известной теоремы стереометрии. [16]
Но довольно пока 6 традициях математической строгости. Еще раз: не следует преувеличивать представления о строгости греков. Тем более странной кажется тщательность, проявленная при рассмотрении теории параллельных. Постулат о параллельных, который мы находим у Евклида, был для древних окончательным решением проблемы, которая должна была весьма интересовать греков. На другие решения есть лишь косвенные указания, но они позволяют предположить, что греки знали об этом больше, чем содержится у Евклида, что они во всяком случае были близки к исторически столь далекой неевклидовой геометрии. Но опять-таки как в смысле математической строгости со времен Евдокса, так и в отношении оснований геометрии со времен Евклида на два тысячелетия твердо установилось традиционное содержание. Точно так же обстоит дело с геометрическим методом - всем, пожалуй, известен метод конгруэнтных треугольников, на которые фигуру разбивают вспомогательными линиями, чтобы, переходя от одного треугольника к другому, построить цепочку доказательств конгруэнтности двух величин, равенство которых нужно доказать, - последовательный метод, доходящий иногда до абсурда. Вспомните, например, классическую задачу из школьного курса геометрии: доказать, что плоскость ВС / С, проходящая через три вершины куба, смежные с данной вершиной Л, перпендикулярна диагонали куба, проведенной из вершины А. Скольких признаков конгруэнтности можно избежать, если заметить невооруженным глазом, что поворот на 120 вокруг диагонали АЕ преобразует рассматриваемую плоскость ВСК в себя, из чего и вытекает все, что требуется доказать. Еще десять или двадцать лет назад1 подобные доказательства были категорически запрещены в школе. Теперь, наконец, такие отображения, как зеркальное отражение, сдвиг, вращение, выражают последний крик моды в школьном преподавании. В творческой геометрии эти методы появились еще в XIX веке, они составляют основу новой геометрии. Но евклидовы традиции конгруэнтных треугольников еще и в нашем столетии были настолько сильны, что даже Феликсу Клейну не удалось ввести отображения в школьное преподавание в Германии. [17]
Но довольно пока 6 традициях математической строгости. Еще раз: не следует преувеличивать представления о строгости греков. Тем более странной кажется тщательность, проявленная при рассмотрении теории параллельных. Постулат о параллельных, который мы находим у Евклида, был для древних окончательным решением проблемы, которая должна была весьма интересовать греков. На другие решения есть лишь косвенные указания, но они позволяют предположить, что греки знали об этом больше, чем содержится у Евклида, что они во всяком случае были близки к исторически столь далекой неевклидовой геометрии. Но опять-таки как в смысле математической строгости со времен Евдокса, так и в отношении оснований геометрии со времен Евклида на два тысячелетия твердо установилось традиционное содержание. Точно так же обстоит дело с геометрическим методом - всем, пожалуй, известен метод конгруэнтных треугольников, на которые фигуру разбивают вспомогательными линиями, чтобы, переходя от одного треугольника к другому, построить цепочку доказательств конгруэнтности двух величин, равенство которых нужно доказать, - последовательный метод, доходящий иногда до абсурда. Вспомните, например, классическую задачу из школьного курса геометрии: доказать, что плоскость ВС / С, проходящая через три вершины куба, смежные с данной вершиной Л, перпендикулярна диагонали куба, проведенной из вершины А. Скольких признаков конгруэнтности можно избежать, если заметить невооруженным глазом, что поворот на 120 вокруг диагонали АЕ преобразует рассматриваемую плоскость ВСК в себя, из чего и вытекает все, что требуется доказать. Еще десять или двадцать лет назад1 подобные доказательства были категорически запрещены в школе. Теперь, наконец, такие отображения, как зеркальное отражение, сдвиг, вращение, выражают последний крик моды в школьном преподавании. В творческой геометрии эти методы появились еще в XIX веке, они составляют основу новой геометрии. Но евклидовы традиции конгруэнтных треугольников еще и в нашем столетии были настолько сильны, что даже Феликсу Клейну не удалось ввести отображения в школьное преподавание в Германии. [18]